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물리학 강의 노트

개념완성

벡터 퍼텐셜 (Vector Potential)

1. 벡터 퍼텐셜의 정의와 존재

정의3.6벡터 퍼텐셜

∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0이 항상 성립하므로, 헬름홀츠 정리에 의해 자기장은 항상 어떤 벡터장의 회전으로 쓸 수 있다:

B=∇×A\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

이 A\mathbf{A}를 벡터 퍼텐셜(vector potential)이라 한다. 임의의 스칼라 함수 λ\lambda에 대해 A′=A+∇λ\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla\lambda로 바꿔도 B\mathbf{B}는 변하지 않는다(게이지 자유도).

2. 쿨롱 게이지와 벡터 퍼텐셜의 방정식

정의3.7쿨롱 게이지

게이지 자유도를 이용하여 다음 조건을 부과할 수 있다:

∇⋅A=0(쿨롱 게이지)\nabla \cdot \mathbf{A} = 0 \qquad \text{(쿨롱 게이지)}

앙페르 법칙 ∇×B=μ0J\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}에 B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}를 대입하면:

∇×(∇×A)=μ0J\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \mu_0\mathbf{J}

벡터 항등식 ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}와 쿨롱 게이지 조건을 사용하면:

∇2A=−μ0J\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}

이것은 각 성분이 독립적인 푸아송 방정식이다. 따라서 정전기학의 쿨롱 적분과 동일한 구조의 해를 가진다:

A(r)=μ04π∫J(r′)∣r−r′∣ d3r′\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'

3. 각종 전류 분포에 대한 벡터 퍼텐셜

선전류의 경우 J d3r′→I dℓ′\mathbf{J}\,d^3r' \to I\,d\boldsymbol{\ell}', 면전류의 경우 J d3r′→K da′\mathbf{J}\,d^3r' \to \mathbf{K}\,da'로 대체한다:

A(r)=μ0I4π∮dℓ′∣r−r′∣(선전류)\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\boldsymbol{\ell}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \qquad \text{(선전류)} A(r)=μ04π∫K(r′)∣r−r′∣ da′(면전류)\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{K}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,da' \qquad \text{(면전류)}
예제무한 직선 전류의 벡터 퍼텐셜

zz축을 따라 흐르는 무한 직선 전류 II에 의한 벡터 퍼텐셜:

직접 적분은 발산하지만, B=μ0I2πsϕ^\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}\hat{\phi}로부터 역으로 구할 수 있다. 원통 좌표에서 A=Az(s)z^\mathbf{A} = A_z(s)\hat{z}로 놓으면:

∇×A=−∂Az∂sϕ^=μ0I2πsϕ^\nabla\times\mathbf{A} = -\frac{\partial A_z}{\partial s}\hat{\phi} = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}\hat{\phi}

따라서:

Az=−μ0I2πln⁡s+CA_z = -\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln s + C

즉:

A=−μ0I2πln⁡s z^+const\mathbf{A} = -\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln s\,\hat{z} + \text{const}

(임의의 상수는 게이지 자유도의 일부이다.)

4. 자기 쌍극자의 벡터 퍼텐셜

정의3.8자기 쌍극자의 벡터 퍼텐셜

자기 쌍극자 모멘트 m\mathbf{m}에 의한 원거리 벡터 퍼텐셜:

Adip(r)=μ04πm×r^r2\mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\hat{r}}{r^2}

이로부터 자기장:

Bdip(r)=μ04π1r3[3(m⋅r^)r^−m]\mathbf{B}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{r^3}\left[3(\mathbf{m}\cdot\hat{r})\hat{r} - \mathbf{m}\right]

이는 전기 쌍극자의 전기장과 정확히 같은 형태이다 (p/ϵ0→μ0m\mathbf{p}/\epsilon_0 \to \mu_0\mathbf{m}).

예제회전하는 대전 구각의 벡터 퍼텐셜

반지름 RR, 면전하 밀도 σ\sigma인 구각이 각속도 ω=ωz^\boldsymbol{\omega} = \omega\hat{z}로 회전할 때:

면전류 밀도: K=σv=σω×R′=σωRsin⁡θ′ϕ^′\mathbf{K} = \sigma\mathbf{v} = \sigma\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}' = \sigma\omega R\sin\theta'\hat{\phi}'

대칭성에 의해 구 내부의 자기장은 균일하고, 구 외부는 자기 쌍극자 형태이다:

Bin=23μ0σRω z^=23μ0σRω\mathbf{B}_{\text{in}} = \frac{2}{3}\mu_0\sigma R\omega\,\hat{z} = \frac{2}{3}\mu_0\sigma R\boldsymbol{\omega}

자기 쌍극자 모멘트:

m=4π3σR4ω z^=4π3σR4ω\mathbf{m} = \frac{4\pi}{3}\sigma R^4\omega\,\hat{z} = \frac{4\pi}{3}\sigma R^4\boldsymbol{\omega}

5. 자기 벡터 퍼텐셜의 다중극 전개

벡터 퍼텐셜에 대해서도 다중극 전개를 수행할 수 있다:

A(r)=μ0I4π∮dℓ′∣r−r′∣=μ0I4π∑l=0∞1rl+1∮(r′)lPl(cos⁡α) dℓ′\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\boldsymbol{\ell}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\oint (r')^l P_l(\cos\alpha)\,d\boldsymbol{\ell}'

단극자 항 (l=0l=0): ∮dℓ′=0\oint d\boldsymbol{\ell}' = 0 — 닫힌 경로의 적분이므로 항상 0. 이것이 자기 단극자가 존재하지 않는 이유의 수학적 표현이다.

쌍극자 항 (l=1l=1): 벡터 항등식을 이용하면:

Adip=μ04πm×r^r2,m=I∫da\mathbf{A}_{\text{dip}} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\hat{r}}{r^2}, \qquad \mathbf{m} = I\int d\mathbf{a}
참고아하로노프-봄 효과

고전 물리학에서 벡터 퍼텐셜은 보조적 수학 도구로 여겨졌다. 그러나 양자역학에서 아하로노프-봄 효과(Aharonov-Bohm effect)는 자기장이 0인 영역에서도 벡터 퍼텐셜이 전자의 위상에 직접 영향을 미침을 보여준다:

Δϕ=eℏ∮A⋅dℓ=eℏΦB\Delta\phi = \frac{e}{\hbar}\oint\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \frac{e}{\hbar}\Phi_B

여기서 ΦB\Phi_B는 경로가 둘러싸는 자기 선속이다. 이는 벡터 퍼텐셜이 단순한 수학적 편의가 아니라 물리적으로 근본적인 양임을 보여준다.