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물리학 강의 노트

법칙완성

비오-사바르 법칙 (Biot-Savart Law)

1. 법칙의 진술

법칙3.1비오-사바르 법칙

정상 전류 II가 흐르는 도선의 미소 길이 요소 dℓ′d\boldsymbol{\ell}'가 관측점 r\mathbf{r}에 만드는 자기장의 기여:

dB=μ0I4πdℓ′×r^r2d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\boldsymbol{\ell}'\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}

전체 도선에 의한 자기장:

B(r)=μ0I4π∮dℓ′×r^r2\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{d\boldsymbol{\ell}'\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}

여기서 r=r−r′\boldsymbol{\mathscr{r}} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'은 전류 요소에서 관측점까지의 변위 벡터이고, r=∣r∣\mathscr{r} = |\boldsymbol{\mathscr{r}}|, r^=r/r\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} = \boldsymbol{\mathscr{r}}/\mathscr{r}이다.

체적 전류에 대한 일반형:

B(r)=μ04π∫J(r′)×r^r2 d3r′\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}\,d^3r'

상수 μ0=4π×10−7 T⋅m/A\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m/A}는 진공의 투자율이다.

참고쿨롱 법칙과의 비교

비오-사바르 법칙은 정자기학에서 쿨롱 법칙에 대응되는 역할을 한다:

| 정전기학 | 정자기학 | |---------|---------| | E=14πϵ0∫ρr^r2d3r′\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}d^3r' | B=μ04π∫J×r^r2d3r′\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}d^3r' | | ϵ0\epsilon_0 (전기 상수) | μ0\mu_0 (자기 상수) | | 중심력 | 외적에 의한 비중심력 |

핵심 차이: 전기장은 원천 전하에서 바깥으로(또는 안으로) 향하는 반면, 자기장은 전류 방향과 변위 방향 모두에 수직이다.

2. 기본 예제: 무한 직선 전류

예제무한 직선 전류에 의한 자기장

zz축을 따라 +z+z 방향으로 전류 II가 흐르는 무한히 긴 직선 도선이 있다.

dℓ′=dz′z^d\boldsymbol{\ell}' = dz'\hat{z}, 도선에서 관측점까지의 수직 거리를 ss라 하면:

B=μ0I4π∫−∞∞dz′z^×r^r2\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz'\hat{z}\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}

기하학적 관계: r=s2+z′2\mathscr{r} = \sqrt{s^2 + z'^2}, 외적의 크기는 sin⁡θ=s/r\sin\theta = s/\mathscr{r} 이고 방향은 ϕ^\hat{\phi}:

B=μ0I4π∫−∞∞s dz′(s2+z′2)3/2B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s\,dz'}{(s^2+z'^2)^{3/2}}

z′=stan⁡αz' = s\tan\alpha로 치환하면:

B=μ0I4πs∫−π/2π/2cos⁡α dα=μ0I4πs⋅2=μ0I2πsB = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\alpha\,d\alpha = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}\cdot 2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}

따라서:

B=μ0I2πsϕ^\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}\hat{\phi}

3. 원형 전류 고리

예제원형 전류 고리의 축 위 자기장

반지름 RR인 원형 고리에 전류 II가 흐를 때, 고리의 중심축(zz축) 위의 점 (0,0,z)(0,0,z)에서의 자기장:

대칭성에 의해 zz 성분만 살아남는다:

Bz=μ0I4π∮(dℓ′×r^)zr2B_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint\frac{(d\boldsymbol{\ell}'\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}})_z}{\mathscr{r}^2}

기하학적 분석: r=R2+z2\mathscr{r} = \sqrt{R^2 + z^2}, sin⁡ψ=R/r\sin\psi = R/\mathscr{r}:

Bz=μ0I4πR(R2+z2)3/2∮dℓ′=μ0IR22(R2+z2)3/2B_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R}{(R^2+z^2)^{3/2}}\oint d\ell' = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}

특수한 경우들:

  • 고리 중심 (z=0z=0): B=μ0I2RB = \frac{\mu_0 I}{2R}
  • 원거리 (z≫Rz \gg R): B≈μ0IR22z3=μ04π2mz3B \approx \frac{\mu_0 IR^2}{2z^3} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m}{z^3}, 여기서 m=IπR2m = I\pi R^2

원거리 결과는 자기 쌍극자의 축 위 자기장과 일치한다.

4. 유한 직선 전류

예제유한 직선 전류에 의한 자기장

길이가 유한한 직선 도선(끝점에서의 각도가 θ1\theta_1, θ2\theta_2)에 대해:

B=μ0I4πs(sin⁡θ2−sin⁡θ1)B = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}(\sin\theta_2 - \sin\theta_1)

여기서 ss는 도선까지의 수직 거리이고, 각도는 관측점에서 도선의 수선의 발을 기준으로 측정한다.

무한 직선(θ1=−π/2\theta_1 = -\pi/2, θ2=π/2\theta_2 = \pi/2)의 경우 B=μ0I2πsB = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}로 환원된다.

5. 비오-사바르 법칙에서 앙페르 법칙으로

유도비오-사바르에서 자기장의 발산과 회전

비오-사바르 법칙의 체적전류 형태에서 출발:

B(r)=μ04π∫J(r′)×r^r2 d3r′=μ04π∫J(r′)×∇ ⁣(−1r)d3r′\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}\,d^3r' = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\nabla\!\left(\frac{-1}{\mathscr{r}}\right)d^3r'

발산: ∇⋅(J×∇(1/r))\nabla\cdot(\mathbf{J}\times\nabla(1/\mathscr{r}))에 벡터 항등식을 적용하면:

∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0

회전: 유사한 계산과 ∇2(1/r)=−4πδ3(r)\nabla^2(1/\mathscr{r}) = -4\pi\delta^3(\boldsymbol{\mathscr{r}})를 이용하면:

∇×B=μ0J\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}

이것이 앙페르 법칙의 미분형이다. 따라서 비오-사바르 법칙과 앙페르 법칙은 동치이다.

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참고비오-사바르 법칙의 적용 범위

비오-사바르 법칙은 정상 전류(정자기학)에서만 정확하다. 시변 전류의 경우, 지연 효과(retardation)를 고려해야 하며, 이는 제프이멘코 방정식(Jefimenko's equations)으로 일반화된다. 또한 비오-사바르 법칙의 개별 미소 요소 dBd\mathbf{B}는 독립적으로 물리적 의미가 없다 — 정상 전류는 반드시 닫힌 회로를 형성해야 하기 때문이다.