앙페르 법칙 (Ampere's Law)

1. 법칙의 진술

법칙3.2앙페르 법칙

적분형: 임의의 닫힌 경로(앙페리안 루프) $\mathcal{C}$ 를 따른 자기장의 선적분은 그 경로가 둘러싸는 전류에 비례한다:

\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}}

여기서 $I_{\text{enc}} = \int_{\mathcal{S}}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}$ 는 $\mathcal{C}$ 를 경계로 하는 임의의 곡면 $\mathcal{S}$ 를 관통하는 총 전류이다.

미분형: 스토크스 정리를 적용하면:

\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}

이 법칙은 정자기학(정상 전류)에서만 성립한다. 시변 전류에 대해서는 맥스웰의 변위전류 항이 추가되어야 한다.

2. 앙페르 법칙의 적용

앙페르 법칙이 가장 유용한 것은 자기장이 높은 대칭성을 가질 때이다. 이때 적절한 앙페리안 루프를 선택하면 $\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}$ 의 적분이 간단해진다.

예제무한 직선 전류

$z$ 축을 따라 전류 $I$ 가 흐르는 무한 직선 도선. 대칭성에 의해 $\mathbf{B} = B(s)\hat{\phi}$ .

반지름 $s$ 인 원형 앙페리안 루프를 선택:

\oint\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B(s)\cdot 2\pi s = \mu_0 I

\therefore\quad \mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}\hat{\phi}

예제무한 솔레노이드

단위 길이당 감은 수 $n$ , 전류 $I$ 인 무한 솔레노이드(반지름 $R$ ).

대칭성: $\mathbf{B}$ 는 축 방향( $\hat{z}$ )이고 $s$ 에만 의존한다.

외부 ( $s > R$ ): 솔레노이드 밖으로 충분히 뻗은 직사각형 루프를 잡으면 $I_{\text{enc}} = 0$ . 무한히 먼 곳에서 $B = 0$ 임을 이용하면 $\mathbf{B}_{\text{out}} = 0$ .

내부 ( $s < R$ ): 축에 평행한 한 변의 길이가 $L$ 인 직사각형 루프:

BL = \mu_0 nLI \quad \Rightarrow \quad \mathbf{B}_{\text{in}} = \mu_0 nI\,\hat{z}

솔레노이드 내부의 자기장은 균일하고, 외부 자기장은 0이다.

예제토로이드

내부 반지름 $a$ , 외부 반지름 $b$ , 총 감은 수 $N$ , 전류 $I$ 인 토로이드.

중심축에서 거리 $s$ 인 원형 앙페리안 루프를 선택:

$s < a$ : $I_{\text{enc}} = 0 \Rightarrow B = 0$
$a < s < b$ : $I_{\text{enc}} = NI \Rightarrow B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi s}$
$s > b$ : $I_{\text{enc}} = 0 \Rightarrow B = 0$ (전류가 한 바퀴 돌아서 상쇄)

\mathbf{B} = \begin{cases} \frac{\mu_0 NI}{2\pi s}\hat{\phi} & (a < s < b) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

3. 무한 면전류

예제무한 면전류에 의한 자기장

$xy$ 평면 위를 $\mathbf{K} = K\hat{x}$ 방향으로 흐르는 균일한 면전류.

대칭성에 의해 $\mathbf{B} = B_y(z)\hat{y}$ 이고, $z > 0$ 과 $z < 0$ 에서 부호가 반대이다.

$z$ 축에 평행한 변을 가진 직사각형 루프(높이 $2h$ , 폭 $w$ ):

2B_y w = \mu_0 Kw \quad \Rightarrow \quad B_y = \frac{\mu_0 K}{2}

\mathbf{B} = \begin{cases} +\frac{\mu_0 K}{2}\hat{y} & (z < 0) \\ -\frac{\mu_0 K}{2}\hat{y} & (z > 0) \end{cases} = \frac{\mu_0}{2}\mathbf{K}\times\hat{n}

여기서 $\hat{n}$ 은 면에서 관측점 쪽을 향하는 법선이다.

4. 자기장의 경계 조건

정의3.9자기장의 경계 조건

면전류 $\mathbf{K}$ 가 흐르는 경계면을 사이에 둔 자기장의 불연속:

법선 성분 (연속):

B_{\text{above}}^{\perp} - B_{\text{below}}^{\perp} = 0

접선 성분 (불연속):

\mathbf{B}_{\text{above}}^{\parallel} - \mathbf{B}_{\text{below}}^{\parallel} = \mu_0(\mathbf{K}\times\hat{n})

벡터 퍼텐셜로 표현하면:

\mathbf{A}_{\text{above}} = \mathbf{A}_{\text{below}}

\frac{\partial\mathbf{A}_{\text{above}}}{\partial n} - \frac{\partial\mathbf{A}_{\text{below}}}{\partial n} = -\mu_0\mathbf{K}

5. 앙페르 법칙의 한계와 맥스웰의 수정

참고앙페르 법칙의 불완전성

앙페르 법칙의 미분형 $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$ 의 양변에 발산을 취하면:

0 = \mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}

이는 $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$ , 즉 전류의 발산이 0인 경우(정상 전류)에만 자기적으로 일관된다. 비정상 전류의 경우 연속 방정식 $\nabla\cdot\mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t \neq 0$ 이므로 모순이 생긴다.

맥스웰은 이 문제를 변위 전류(displacement current) $\mu_0\epsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t$ 를 추가하여 해결했다:

\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

이 수정은 Chapter 5에서 자세히 다룬다.