기전력과 유도 (EMF and Induction)

1. 기전력의 정의

정의4.1기전력

기전력(electromotive force, emf)은 단위 전하당 회로를 한 바퀴 돌며 해주는 일이다:

\mathcal{E} = \oint\mathbf{f}\cdot d\boldsymbol{\ell}

여기서 $\mathbf{f}$ 는 단위 전하에 작용하는 힘(전기장 + 기타)이다. 이름에 "force"가 들어가지만, 기전력의 단위는 볼트(V = J/C)로 힘이 아닌 에너지/전하의 차원을 가진다.

정전기 전기장의 경우 $\oint\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = 0$ 이므로 정전기장만으로는 기전력이 생기지 않는다. 기전력의 원천은 비보존적인 힘이다.

정의4.2운동 기전력

자기장 속에서 도선이 운동할 때 자유 전하에 작용하는 자기력에 의해 발생하는 기전력:

\mathcal{E}_{\text{motional}} = \oint(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\boldsymbol{\ell}

여기서 $\mathbf{v}$ 는 도선의 속도이다.

예제자기장 속을 움직이는 직선 도체

균일한 자기장 $\mathbf{B} = B\hat{z}$ 속에서 $y$ 축 방향으로 길이 $L$ 인 직선 도체가 $x$ 축 방향으로 속도 $v$ 로 움직인다.

도체 내의 자유 전하에 작용하는 자기력:

\mathbf{F} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B} = qvB\hat{y}\times\hat{z}\cdot\hat{x} \to qvB\,(\hat{x}\times\hat{z})

이를 정리하면 도체를 따른 기전력:

\mathcal{E} = vBL

이 기전력은 도체의 양 끝에 전위차를 만들어 외부 회로에 전류를 흐르게 할 수 있다.

예제자기장 속의 회전 막대

균일한 자기장 $B$ 속에서 한쪽 끝이 고정된 길이 $L$ 인 도체 막대가 각속도 $\omega$ 로 회전한다.

중심에서 거리 $s$ 에 있는 미소 요소의 속도: $v = \omega s$

운동 기전력:

\mathcal{E} = \int_0^L v B\,ds = \int_0^L \omega s B\,ds = \frac{1}{2}\omega B L^2

이것이 패러데이 원판(Faraday disk) 또는 호모폴라 발전기(homopolar generator)의 원리이다.

정의4.3자기 선속

회로가 둘러싸는 면 $\mathcal{S}$ 를 관통하는 자기 선속(magnetic flux):

\Phi_B = \int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}

단위는 웨버(Wb = V $\cdot$ s = T $\cdot$ m $^2$ )이다.

운동 기전력은 자기 선속의 변화율로 표현할 수 있다:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

이 관계는 패러데이 법칙의 형태이며, 운동 기전력뿐 아니라 자기장 자체가 시간에 따라 변하는 경우에도 성립한다.

자기장이 시간에 따라 변할 때, 도선이 정지해 있어도 기전력이 발생한다. 이때 전하를 움직이는 힘은 자기력이 아니라 유도 전기장(induced electric field)이다:

\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

이 유도 전기장은 보존력이 아니다 — 선적분이 0이 아니다:

\oint\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} \neq 0

참고두 가지 기전력의 통합

패러데이 법칙 $\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt$ 는 두 가지 물리적으로 다른 메커니즘을 하나의 수식으로 통합한다:

도선이 움직이는 경우: 자기력 $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 에 의한 운동 기전력
자기장이 변하는 경우: 유도 전기장 $\nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t$

아인슈타인은 1905년 특수 상대론 논문에서 이 두 메커니즘의 물리적 동등성에 주목했다. 한 관성계에서 자기력으로 보이는 것이 다른 관성계에서는 전기력으로 나타난다 — 이는 전기와 자기가 하나의 통합된 현상임을 시사한다.

정의4.4렌츠의 법칙

유도 기전력의 방향은 자기 선속의 변화를 방해하는 방향이다. 패러데이 법칙의 음부호( $-$ )가 이를 수학적으로 표현한다:

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

선속이 증가하면 ( $d\Phi_B/dt > 0$ ) 유도 기전력은 음( $\mathcal{E} < 0$ )으로, 선속을 줄이는 방향의 전류를 만든다.
선속이 감소하면 ( $d\Phi_B/dt < 0$ ) 유도 기전력은 양( $\mathcal{E} > 0$ )으로, 선속을 보충하는 방향의 전류를 만든다.

참고에너지 보존과 렌츠의 법칙

렌츠의 법칙은 에너지 보존법칙의 직접적 결과이다. 만약 유도 전류가 선속 변화를 증폭시키는 방향이었다면, 양의 피드백에 의해 전류와 에너지가 한없이 증가하게 되어 에너지 보존에 위배된다. 렌츠의 법칙이 제공하는 음의 피드백이 물리적 안정성을 보장한다.

예제솔레노이드와 동심 원형 도선

반지름 $a$ 인 솔레노이드에서 자기장이 $B(t) = B_0\sin(\omega t)$ 로 변할 때, 솔레노이드를 둘러싸는 반지름 $b > a$ 인 원형 도선에서의 유도 기전력:

\Phi_B = B(t)\pi a^2 = B_0\pi a^2\sin(\omega t)

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -B_0\pi a^2\omega\cos(\omega t)

흥미로운 점: 유도 전기장은 솔레노이드 밖에서도 존재하지만, 자기장은 솔레노이드 안에만 있다. 이 문제에서 도선의 위치( $b$ )는 기전력에 영향을 주지 않는다 — 도선 밖의 자기장이 0이기 때문이다.