인덕턴스 (Inductance)

1. 상호 인덕턴스

정의4.5상호 인덕턴스

두 회로가 있을 때, 회로 1의 전류 $I_1$ 이 만드는 자기 선속 중 회로 2를 관통하는 양을 $\Phi_{21}$ 이라 하면:

\Phi_{21} = M_{21}I_1

여기서 상호 인덕턴스(mutual inductance) $M_{21}$ 은 두 회로의 기하학적 배치에만 의존하고, 전류의 크기에는 무관하다.

노이만 공식(Neumann formula):

M_{21} = M_{12} \equiv M = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{\mathcal{C}_1}\oint_{\mathcal{C}_2}\frac{d\boldsymbol{\ell}_1\cdot d\boldsymbol{\ell}_2}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|}

이 공식의 대칭성에서 알 수 있듯이 $M_{12} = M_{21}$ 이다. 이를 $M$ 으로 쓴다.

단위는 헨리(H = V $\cdot$ s/A = $\Omega\cdot$ s)이다.

예제동축 솔레노이드의 상호 인덕턴스

반지름 $R_1$ 인 내부 솔레노이드(단위 길이당 $n_1$ 회)와 반지름 $R_2 > R_1$ 인 외부 솔레노이드(단위 길이당 $n_2$ 회, 길이 $l$ )가 동축으로 놓여 있다.

내부 솔레노이드의 자기장: $B_1 = \mu_0 n_1 I_1$ (내부에 균일, 외부에 0)

외부 솔레노이드를 관통하는 선속:

\Phi_{21} = B_1 \cdot \pi R_1^2 \cdot n_2 l = \mu_0 n_1 n_2 \pi R_1^2 l \cdot I_1

M = \mu_0 n_1 n_2 \pi R_1^2 l

$M$ 은 항상 작은 쪽 반지름 $R_1$ 에 의존함에 주의하라. 이는 내부 솔레노이드의 자기장이 $R_1$ 안에만 존재하기 때문이다.

2. 자기 인덕턴스

정의4.6자기 인덕턴스

단일 회로에서, 자기 자신의 전류 $I$ 가 만드는 자기 선속:

\Phi = LI

여기서 $L$ 은 자기 인덕턴스(self-inductance) 또는 간단히 인덕턴스이다.

전류가 변하면 역기전력(back-emf)이 발생한다:

\mathcal{E} = -L\frac{dI}{dt}

인덕턴스 $L$ 은 회로의 기하학에만 의존하는 양의 상수이다.

예제솔레노이드의 자기 인덕턴스

길이 $l$ , 단면적 $A$ , 총 감은 수 $N$ 인 솔레노이드:

B = \mu_0 nI = \mu_0\frac{N}{l}I

총 선속 쇄교(flux linkage):

\Phi = NBA = \mu_0\frac{N^2}{l}AI

L = \frac{\Phi}{I} = \mu_0\frac{N^2 A}{l} = \mu_0 n^2 Al

이로부터 단위 길이당 인덕턴스: $L/l = \mu_0 n^2 A$ .

예제토로이드의 자기 인덕턴스

내부 반지름 $a$ , 외부 반지름 $b$ , 높이 $h$ , 총 감은 수 $N$ 인 직사각형 단면의 토로이드:

B = \frac{\mu_0 NI}{2\pi s} \qquad (a < s < b)

선속:

\Phi = \int_a^b B \cdot h\,ds = \frac{\mu_0 NIh}{2\pi}\ln\frac{b}{a}

L = \frac{N\Phi}{I} = \frac{\mu_0 N^2 h}{2\pi}\ln\frac{b}{a}

3. 자기장의 에너지

정의4.7자기장에 저장된 에너지

인덕턴스 $L$ 인 회로에서 전류를 0에서 $I$ 까지 올리는 데 필요한 에너지:

W = \frac{1}{2}LI^2

이 에너지는 자기장에 저장된 것으로 해석할 수 있다. 자기장의 에너지 밀도:

u_B = \frac{1}{2\mu_0}B^2

전체 에너지:

W = \frac{1}{2\mu_0}\int_{\text{all space}} B^2\,d^3r

이는 정전기 에너지 밀도 $u_E = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2$ 의 자기적 대응물이다.

예제동축 케이블의 단위 길이당 인덕턴스

내부 반지름 $a$ , 외부 반지름 $b$ 인 동축 케이블에서 내부 도체에 전류 $I$ 가 흐르고, 외부 도체에 $-I$ 가 돌아온다.

$a < s < b$ 영역에서: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}$

에너지를 이용한 인덕턴스 계산:

\frac{W}{l} = \frac{1}{2\mu_0}\int_a^b\left(\frac{\mu_0 I}{2\pi s}\right)^2 2\pi s\,ds = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\ln\frac{b}{a}

\frac{W}{l} = \frac{1}{2}\frac{L}{l}I^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{L}{l} = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{b}{a}

4. 상호 인덕턴스와 에너지

두 회로가 있을 때 전체 자기 에너지:

W = \frac{1}{2}L_1 I_1^2 + MI_1I_2 + \frac{1}{2}L_2 I_2^2

에너지가 양의 정부호이어야 하므로:

M^2 \leq L_1 L_2

결합 계수(coupling coefficient)를 $k = M/\sqrt{L_1 L_2}$ 로 정의하면, $0 \leq k \leq 1$ 이다. $k = 1$ 은 완전 결합(perfect coupling)이다.

참고자기 에너지와 정전기 에너지의 부호

정전기 에너지 $W_E = \frac{1}{2}\int\rho V\,d^3r$ 은 부호가 양 또는 음일 수 있다(같은 부호의 전하들이 모이면 양, 반대 부호가 끌려오면 음). 반면 자기 에너지 $W_B = \frac{1}{2\mu_0}\int B^2 d^3r$ 은 항상 양이다. 이 차이는 자기력이 일을 하지 않는 것과 관련된다 — 자기 에너지를 바꾸려면 전원(battery)이 일을 해야 하며, 이 에너지는 항상 양의 값을 가진다.

5. RL 회로

예제RL 회로의 과도 응답

저항 $R$ 과 인덕턴스 $L$ 이 직렬로 연결된 회로에 시간 $t=0$ 에서 기전력 $\mathcal{E}_0$ 을 인가한다.

키르히호프 법칙:

\mathcal{E}_0 - IR - L\frac{dI}{dt} = 0

해:

I(t) = \frac{\mathcal{E}_0}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}

시정수 $\tau = L/R$ 은 전류가 최종값의 약 63%에 도달하는 데 걸리는 시간이다. 인덕턴스가 클수록 전류의 변화에 더 강하게 저항한다.