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물리학 강의 노트

법칙완성

패러데이 법칙 (Faraday's Law)

1. 법칙의 진술

법칙4.1패러데이 법칙

적분형: 닫힌 경로 C\mathcal{C}를 따른 전기장의 선적분은 그 경로가 둘러싸는 면을 관통하는 자기 선속의 시간 변화율의 음수와 같다:

∮CE⋅dℓ=−dΦBdt=−ddt∫SB⋅da\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}

미분형: 스토크스 정리를 적용하면:

∇×E=−∂B∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

이 법칙은 맥스웰 방정식 네 개 중 하나이며, 전기장과 자기장이 서로 연결되어 있음을 보여주는 핵심 관계이다.

참고패러데이 법칙의 역사적 의의

마이클 패러데이는 1831년 세 가지 실험을 통해 전자기 유도를 발견했다:

  1. 상호 유도: 한 코일의 전류를 변화시키면 인접한 코일에 전류가 유도됨
  2. 운동 유도: 자석과 코일의 상대 운동으로 전류가 유도됨
  3. 자기장 변화에 의한 유도: 시변 자기장이 전기장을 유도함

이 실험들은 전기와 자기의 통합 이론(맥스웰 방정식)으로 이어지는 결정적인 실마리를 제공했다.

2. 패러데이 법칙의 세 가지 측면

2.1 자기장 변화에 의한 유도

정지한 회로에서 자기장이 시간에 따라 변할 때:

E=−∂∂t∫SB⋅da=−∫S∂B∂t⋅da\mathcal{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = -\int_{\mathcal{S}}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a}

이때 기전력의 원인은 유도 전기장이다.

2.2 회로 운동에 의한 유도

일정한 자기장 속에서 회로가 움직이거나 변형될 때:

E=∮(v×B)⋅dℓ\mathcal{E} = \oint(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\boldsymbol{\ell}

이때 기전력의 원인은 로런츠 자기력이다.

2.3 일반적인 경우

자기장도 변하고 회로도 움직이는 일반적인 경우에 보편적 선속 법칙(universal flux rule):

E=−dΦBdt\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

이 하나의 공식이 모든 경우를 포괄한다.

3. 유도 전기장의 계산

예제시변 솔레노이드에 의한 유도 전기장

반지름 RR인 솔레노이드 내부의 자기장이 B(t)=B(t)z^\mathbf{B}(t) = B(t)\hat{z}로 균일하게 변할 때, 유도 전기장을 구하라.

대칭성에 의해 E=E(s)ϕ^\mathbf{E} = E(s)\hat{\phi} (원통 대칭).

반지름 ss인 원형 경로에 패러데이 법칙 적용:

내부 (s<Rs < R):

E(2πs)=−B˙πs2⇒E=−B˙s2ϕ^E(2\pi s) = -\dot{B}\pi s^2 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{E} = -\frac{\dot{B}s}{2}\hat{\phi}

외부 (s>Rs > R):

E(2πs)=−B˙πR2⇒E=−B˙R22sϕ^E(2\pi s) = -\dot{B}\pi R^2 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{E} = -\frac{\dot{B}R^2}{2s}\hat{\phi}

내부에서 E∝sE \propto s (원점에서 0에서 선형 증가), 외부에서 E∝1/sE \propto 1/s (거리에 반비례 감소). s=Rs = R에서 연속이다.

4. 패러데이 법칙과 정전기학의 비교

정의4.8유도 전기장의 성질

시변 자기장에 의한 유도 전기장은 정전기 전기장과 근본적으로 다른 성질을 가진다:

| 성질 | 정전기 전기장 | 유도 전기장 | |------|-------------|-----------| | 원천 | 전하 (∇⋅E=ρ/ϵ0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\epsilon_0) | 시변 자기장 (∇×E=−∂B/∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t) | | 회전 | ∇×E=0\nabla\times\mathbf{E} = 0 (비회전) | ∇×E≠0\nabla\times\mathbf{E} \neq 0 (회전) | | 선적분 | ∮E⋅dℓ=0\oint\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = 0 (보존력) | ∮E⋅dℓ≠0\oint\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} \neq 0 (비보존력) | | 퍼텐셜 | VV 정의 가능 | 스칼라 퍼텐셜 정의 불가 | | 전기력선 | 전하에서 시작/끝 | 닫힌 곡선 |

일반적인 전기장은 두 성분의 합이다: E=ECoulomb+Einduced\mathbf{E} = \mathbf{E}_{\text{Coulomb}} + \mathbf{E}_{\text{induced}}.

5. 패러데이 법칙의 응용

예제베타트론

베타트론(betatron)은 시변 자기장에 의한 유도 전기장으로 전자를 가속하는 장치이다.

전자가 반지름 RR인 원형 궤도를 유지하려면:

evB(R)=mv2R⇒p=eRB(R)evB(R) = \frac{mv^2}{R} \quad \Rightarrow \quad p = eRB(R)

운동량의 시간 변화율:

dpdt=eRB˙(R)\frac{dp}{dt} = eR\dot{B}(R)

유도 전기장에 의한 가속:

dpdt=eE(R)=eR2⟨B˙⟩\frac{dp}{dt} = eE(R) = e\frac{R}{2}\langle\dot{B}\rangle

여기서 ⟨B˙⟩\langle\dot{B}\rangle은 궤도 내부의 평균 자기장 변화율이다. 두 식을 비교하면 베타트론 조건:

B(R)=12⟨B⟩avgB(R) = \frac{1}{2}\langle B\rangle_{\text{avg}}

즉, 궤도 위의 자기장은 궤도 내부의 평균 자기장의 정확히 절반이어야 한다.

예제와전류와 전자기 제동

시변 자기장 속의 도체 내부에는 패러데이 법칙에 의해 와전류(eddy current)가 유도된다. 이 와전류는:

  1. 렌츠의 법칙에 따라 자기장 변화를 방해하는 방향으로 흐른다
  2. 도체의 저항에 의해 줄 열(P=I2RP = I^2R)을 발생시킨다
  3. 운동하는 도체에 대해 제동력(braking force)을 만든다

이 원리를 이용한 전자기 제동(electromagnetic braking)은 고속 열차, 롤러코스터 등에서 사용된다. 기계적 접촉 없이 제동력을 제공하므로 마모가 없다.

참고패러데이 법칙의 예외?

패러데이의 보편적 선속 법칙 E=−dΦB/dt\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt는 놀라울 정도로 일반적이지만, 선속의 정의가 모호한 경우에는 주의가 필요하다. 예를 들어, 호모폴라 발전기(Faraday disk)에서는 회전하는 디스크의 어느 "경로"를 따라 선속을 계산하느냐에 따라 다른 답이 나올 수 있다. 이러한 경우에는 미분형 ∇×E=−∂B/∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t와 로런츠 힘으로 돌아가 직접 계산하는 것이 더 확실하다.