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물리학 강의 노트

개념완성

맥스웰 방정식의 완전한 형태 (Complete Maxwell Equations)

1. 변위 전류의 도입

정의5.1변위 전류

앙페르 법칙 ∇×B=μ0J\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}는 정자기학에서만 성립한다. 비정상 전류에서는 ∇⋅J≠0\nabla\cdot\mathbf{J} \neq 0이므로 모순이 발생한다.

맥스웰은 연속 방정식 ∇⋅J+∂ρ∂t=0\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0과 가우스 법칙 ∇⋅E=ρ/ϵ0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\epsilon_0를 결합하여:

∇⋅J=−∂ρ∂t=−ϵ0∂∂t(∇⋅E)=−∇⋅(ϵ0∂E∂t)\nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E}) = -\nabla\cdot\left(\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right)

따라서 ∇⋅(J+ϵ0∂E∂t)=0\nabla\cdot\left(\mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right) = 0이 항상 성립한다. 맥스웰은 앙페르 법칙을 다음과 같이 수정했다:

∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

추가된 항 Jd=ϵ0∂E∂t\mathbf{J}_d = \epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}를 변위 전류 밀도(displacement current density)라 부른다.

예제충전 중인 축전기에서의 변위 전류

평행판 축전기가 전류 II로 충전되고 있다. 도선을 둘러싸는 앙페리안 루프에 대해, 도선을 관통하는 면을 잡으면 Ienc=II_{\text{enc}} = I이지만, 축전기 판 사이를 지나는 면을 잡으면 실제 전류 Ienc=0I_{\text{enc}} = 0이다.

축전기 내부의 전기장: E=σ/ϵ0=Q/(ϵ0A)E = \sigma/\epsilon_0 = Q/(\epsilon_0 A)

변위 전류:

Id=ϵ0dEdtA=ϵ01ϵ0AdQdtA=dQdt=II_d = \epsilon_0\frac{d E}{d t}A = \epsilon_0\frac{1}{\epsilon_0 A}\frac{dQ}{dt}A = \frac{dQ}{dt} = I

변위 전류가 정확히 도선의 전류와 같으므로, 어떤 면을 선택하든 동일한 결과를 준다. 맥스웰의 수정에 의해 앙페르 법칙이 면의 선택에 무관하게 일관성을 갖추게 된다.

2. 맥스웰 방정식: 완전한 체계

정의5.2맥스웰 방정식 (진공)

진공에서 전하 밀도 ρ\rho와 전류 밀도 J\mathbf{J}가 원천인 전자기장의 완전한 방정식:

∇⋅E=ρϵ0(가우스 법칙)\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad \text{(가우스 법칙)}∇⋅B=0(자기 단극자 부재)\nabla\cdot\mathbf{B} = 0 \qquad \text{(자기 단극자 부재)}∇×E=−∂B∂t(패러데이 법칙)\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \qquad \text{(패러데이 법칙)}∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t(앙페르-맥스웰 법칙)\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \qquad \text{(앙페르-맥스웰 법칙)}

이 네 방정식과 로런츠 힘 법칙 F=q(E+v×B)\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})이 고전 전자기학의 전부이다.

3. 맥스웰 방정식의 적분형

정의5.3맥스웰 방정식의 적분형
∮SE⋅da=Qencϵ0\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}∮SB⋅da=0\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = 0∮CE⋅dℓ=−ddt∫SB⋅da\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}∮CB⋅dℓ=μ0Ienc+μ0ϵ0ddt∫SE⋅da\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}

4. 맥스웰 방정식의 구조적 분석

참고방정식의 대칭성과 비대칭성

맥스웰 방정식은 E\mathbf{E}와 B\mathbf{B}에 대해 거의 대칭적이지만, 두 가지 비대칭이 존재한다:

  1. 전하의 비대칭: ∇⋅E=ρ/ϵ0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\epsilon_0이지만 ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0. 전기 전하는 존재하지만 자기 단극자는 관측된 적이 없다.

  2. 부호의 비대칭: 패러데이 법칙에는 음부호(−-)가, 변위 전류 항에는 양부호(++)가 있다. 이 상대적 부호가 전자기파의 존재를 가능하게 한다.

만약 자기 단극자(자기 전하 ρm\rho_m, 자기 전류 Jm\mathbf{J}_m)가 존재한다면:

∇⋅B=μ0ρm,∇×E=−μ0Jm−∂B∂t\nabla\cdot\mathbf{B} = \mu_0\rho_m, \qquad \nabla\times\mathbf{E} = -\mu_0\mathbf{J}_m - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

이 확장된 방정식은 완벽한 E↔B\mathbf{E} \leftrightarrow \mathbf{B} 쌍대성(duality)을 가진다.

5. 물질 속의 맥스웰 방정식

정의5.4물질 속의 맥스웰 방정식

선형 등방성 매질(유전율 ϵ\epsilon, 투자율 μ\mu)에서 보조장 D=ϵE\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, H=B/μ\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu를 도입하면:

∇⋅D=ρf,∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_f, \qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0∇×E=−∂B∂t,∇×H=Jf+∂D∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}

여기서 ρf\rho_f와 Jf\mathbf{J}_f는 자유 전하와 자유 전류 밀도이다. 분극 전하와 자화 전류는 D\mathbf{D}와 H\mathbf{H}에 흡수되었다.

6. 경계 조건의 완전한 형태

물질 경계면에서의 일반적인 경계 조건:

ϵ1E1⊥−ϵ2E2⊥=σf\epsilon_1 E_1^{\perp} - \epsilon_2 E_2^{\perp} = \sigma_f B1⊥−B2⊥=0B_1^{\perp} - B_2^{\perp} = 0 E1∥−E2∥=0\mathbf{E}_1^{\parallel} - \mathbf{E}_2^{\parallel} = 0 1μ1B1∥−1μ2B2∥=Kf×n^\frac{1}{\mu_1}\mathbf{B}_1^{\parallel} - \frac{1}{\mu_2}\mathbf{B}_2^{\parallel} = \mathbf{K}_f\times\hat{n}
참고맥스웰 방정식의 완전성

맥스웰 방정식 네 개는 E\mathbf{E}와 B\mathbf{B}의 6개 성분에 대한 8개의 스칼라 방정식을 제공한다 (발산 조건이 각 1개, 회전 조건이 각 3개). 그러나 발산 조건은 초기 조건으로 주어지면 회전 조건과 연속 방정식에 의해 자동으로 보존된다. 따라서 독립적인 동역학 방정식은 6개(∇×E\nabla\times\mathbf{E}와 ∇×B\nabla\times\mathbf{B})이며, 이것이 6개의 장 성분을 완전히 결정한다(적절한 초기/경계 조건과 함께).