⚛

물리학 강의 노트

개념완성

게이지 변환 (Gauge Transformations)

1. 퍼텐셜의 도입

정의5.5전자기 퍼텐셜

∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0으로부터 벡터 퍼텐셜 A\mathbf{A}를 도입한다:

B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}

이를 패러데이 법칙에 대입하면:

∇×E=−∂∂t(∇×A)=−∇×∂A∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{A}) = -\nabla\times\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}

따라서 ∇×(E+∂A∂t)=0\nabla\times\left(\mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right) = 0이므로, 스칼라 퍼텐셜 VV를 도입할 수 있다:

E=−∇V−∂A∂t\mathbf{E} = -\nabla V - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}

이 VV와 A\mathbf{A}가 전자기 퍼텐셜이다. 총 4개의 성분(V,Ax,Ay,AzV, A_x, A_y, A_z)으로 6개의 장 성분(E,B\mathbf{E}, \mathbf{B})을 생성한다.

2. 게이지 변환

정의5.6게이지 변환

임의의 스칼라 함수 λ(r,t)\lambda(\mathbf{r}, t)에 대해 다음 변환을 수행해도 물리적 장 E\mathbf{E}와 B\mathbf{B}는 변하지 않는다:

A′=A+∇λ\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla\lambdaV′=V−∂λ∂tV' = V - \frac{\partial\lambda}{\partial t}

확인:

B′=∇×A′=∇×A+∇×(∇λ)=B\mathbf{B}' = \nabla\times\mathbf{A}' = \nabla\times\mathbf{A} + \nabla\times(\nabla\lambda) = \mathbf{B}E′=−∇V′−∂A′∂t=−∇V+∂∂t∇λ−∂A∂t−∇∂λ∂t=E\mathbf{E}' = -\nabla V' - \frac{\partial\mathbf{A}'}{\partial t} = -\nabla V + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\lambda - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} - \nabla\frac{\partial\lambda}{\partial t} = \mathbf{E}

이 게이지 자유도(gauge freedom)는 퍼텐셜이 물리적 장을 유일하게 결정하지 않음을 의미한다.

3. 퍼텐셜에 대한 맥스웰 방정식

E\mathbf{E}와 B\mathbf{B}를 퍼텐셜로 표현하면, 맥스웰 방정식 네 개 중 두 개(∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B}=0과 패러데이 법칙)는 자동으로 만족된다. 나머지 두 개를 퍼텐셜로 쓰면:

가우스 법칙:

∇2V+∂∂t(∇⋅A)=−ρϵ0\nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{A}) = -\frac{\rho}{\epsilon_0}

앙페르-맥스웰 법칙:

∇2A−μ0ϵ0∂2A∂t2−∇(∇⋅A+μ0ϵ0∂V∂t)=−μ0J\nabla^2\mathbf{A} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} - \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu_0\mathbf{J}

이 두 방정식은 VV와 A\mathbf{A}가 결합된 복잡한 형태이다. 게이지 조건을 적절히 선택하면 크게 단순화된다.

4. 쿨롱 게이지

정의5.7쿨롱 게이지

쿨롱 게이지(Coulomb gauge) 조건:

∇⋅A=0\nabla\cdot\mathbf{A} = 0

이 게이지에서 가우스 법칙은:

∇2V=−ρϵ0\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}

이는 정전기학의 푸아송 방정식과 동일한 형태이다. 따라서:

V(r,t)=14πϵ0∫ρ(r′,t)∣r−r′∣ d3r′V(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'

주의: 이 식에서 ρ(r′,t)\rho(\mathbf{r}',t)는 현재 시각의 전하 분포이다(지연된 시각이 아님). 이는 쿨롱 게이지의 스칼라 퍼텐셜이 순간적으로 전파되는 것처럼 보이게 만든다. 그러나 물리적으로 관측 가능한 장 E\mathbf{E}와 B\mathbf{B}는 여전히 빛의 속도로 전파된다 — 벡터 퍼텐셜 A\mathbf{A}가 이를 보상한다.

5. 로런츠 게이지

정의5.8로런츠 게이지

로런츠 게이지(Lorenz gauge) 조건:

∇⋅A+μ0ϵ0∂V∂t=0\nabla\cdot\mathbf{A} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial t} = 0

또는 c=1/μ0ϵ0c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}를 사용하면: ∇⋅A+1c2∂V∂t=0\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t} = 0

이 게이지에서 맥스웰 방정식은 VV와 A\mathbf{A}에 대해 분리된 파동 방정식이 된다:

□2V≡∇2V−μ0ϵ0∂2V∂t2=−ρϵ0\Box^2 V \equiv \nabla^2 V - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}□2A≡∇2A−μ0ϵ0∂2A∂t2=−μ0J\Box^2\mathbf{A} \equiv \nabla^2\mathbf{A} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0\mathbf{J}

여기서 □2=∇2−1c2∂2∂t2\Box^2 = \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}은 달랑베르 연산자(d'Alembertian)이다.

참고로런츠 게이지의 상대론적 우아함

로런츠 게이지 조건은 4-벡터 퍼텐셜 Aμ=(V/c,A)A^\mu = (V/c, \mathbf{A})와 4-전류 Jμ=(cρ,J)J^\mu = (c\rho, \mathbf{J})를 도입하면 극도로 간결해진다:

∂μAμ=0(게이지 조건)\partial_\mu A^\mu = 0 \qquad \text{(게이지 조건)}□2Aμ=−μ0Jμ(운동 방정식)\Box^2 A^\mu = -\mu_0 J^\mu \qquad \text{(운동 방정식)}

이 형태는 로런츠 공변(Lorentz covariant)이다. 즉, 모든 관성 좌표계에서 동일한 형태를 유지한다. 이것이 로런츠 게이지가 상대론적 전자기학에서 선호되는 이유이다.

참고로 이 게이지는 H. A. Lorentz가 아닌 L. V. Lorenz의 이름을 딴 것이지만, 관례적으로 "Lorentz gauge"라고도 불린다.

6. 게이지 불변성의 심오한 의미

참고게이지 불변성과 현대 물리학

고전 전자기학에서의 게이지 불변성은 현대 물리학의 핵심 원리인 게이지 이론(gauge theory)의 원형이다.

  1. 양자전기역학(QED): 전자기 상호작용은 U(1)\text{U}(1) 게이지 대칭의 결과이다. 디랙 방정식에 국소적 위상 변환 ψ→eiα(x)ψ\psi \to e^{i\alpha(x)}\psi 불변성을 요구하면, 광자장(AμA^\mu)이 자연스럽게 도입된다.

  2. 표준 모형: 약력과 강력도 각각 SU(2)\text{SU}(2)와 SU(3)\text{SU}(3) 게이지 대칭으로 기술된다. 전자기학의 U(1)\text{U}(1) 게이지 대칭은 이 거대한 구조의 가장 단순한 경우이다.

  3. 게이지 고정: 양자장론에서 게이지를 완전히 고정하는 것은 비자명한 문제이다. 페이데예프-포포프 방법, BRST 대칭 등 정교한 수학적 도구가 필요하다.

게이지 자유도는 퍼텐셜의 "잉여" 자유도가 아니라, 자연의 근본적 대칭을 반영하는 것이다.