물리학 강의 노트

정의5.9전자기 에너지 밀도

전기장과 자기장에 저장된 에너지의 밀도:

u = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\right)

총 전자기 에너지:

U_{\text{em}} = \int_{\text{all space}} u\,d^3r = \frac{1}{2}\int\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\right) d^3r

전기 에너지 밀도와 자기 에너지 밀도의 합으로 이루어진다.

유도포인팅 정리

전자기장이 하전 입자에 해주는 단위 부피당 일률(power):

\frac{dW}{dt\,dV} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}/V = \rho(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v} = \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}

(자기력은 일을 하지 않으므로 $\mathbf{v}\times\mathbf{B}\cdot\mathbf{v} = 0$ )

맥스웰 방정식에서 $\mathbf{J}$ 를 제거하면:

\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = \frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{E} - \epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot\mathbf{E}

벡터 항등식 $\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) = \mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{E}) - \mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$ 와 패러데이 법칙을 이용하면:

\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = -\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right) - \frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{B})

이를 부피 적분하면 포인팅 정리(Poynting's theorem)를 얻는다.

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법칙5.1포인팅 정리

미분형 (전자기 에너지의 연속 방정식):

\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}

적분형:

\frac{dU_{\text{em}}}{dt} = -\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S}\cdot d\mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}}\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,d^3r

여기서 $\mathbf{S}$ 는 포인팅 벡터이다. 물리적 의미: 부피 $\mathcal{V}$ 내의 전자기 에너지 변화율은 표면을 통해 빠져나가는 에너지 흐름률(첫째 항)과 전하에 전달되는 역학적 에너지(둘째 항)의 합이다.

정의5.10포인팅 벡터

포인팅 벡터(Poynting vector)는 단위 면적당 전자기 에너지의 흐름률(에너지 선속 밀도)을 나타낸다:

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}(\mathbf{E}\times\mathbf{B})

단위: $\text{W/m}^2$ (와트/제곱미터)

포인팅 벡터는 전자기 에너지가 공간을 통해 이동하는 방향과 세기를 나타낸다.

예제저항에 전류가 흐를 때의 에너지 흐름

반지름 $a$ , 길이 $L$ 인 원통형 저항에 전류 $I$ 가 $z$ 방향으로 흐른다. 저항의 표면에서:

전기장: $\mathbf{E} = \frac{V}{L}\hat{z} = \frac{IR}{L}\hat{z}$ (저항 내부, 축 방향)

자기장: $\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}\hat{\phi}$ (저항 표면에서)

포인팅 벡터 (표면에서):

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B} = \frac{1}{\mu_0}\frac{IR}{L}\frac{\mu_0 I}{2\pi a}(\hat{z}\times\hat{\phi}) = -\frac{I^2 R}{2\pi aL}\hat{s}

에너지는 반지름 방향 안쪽으로 흘러 들어간다! 표면을 통한 총 에너지 유입률:

-\oint\mathbf{S}\cdot d\mathbf{a} = \frac{I^2 R}{2\pi aL}\cdot 2\pi aL = I^2R

이는 정확히 줄 열 발생률과 같다. 에너지는 도선을 통해 전달되는 것이 아니라, 도선 주변의 전자기장을 통해 공간을 가로질러 흘러들어온다.

정의5.11전자기 운동량

전자기장은 에너지뿐 아니라 운동량도 가진다. 맥스웰 응력 텐서(Maxwell stress tensor) $\overleftrightarrow{T}$ 로부터:

전자기장의 운동량 밀도:

\mathbf{g} = \mu_0\epsilon_0\mathbf{S} = \epsilon_0(\mathbf{E}\times\mathbf{B})

전자기장의 운동량과 역학적 운동량의 합이 보존된다:

\frac{d}{dt}(\mathbf{p}_{\text{mech}} + \mathbf{p}_{\text{em}}) = \oint_{\mathcal{S}}\overleftrightarrow{T}\cdot d\mathbf{a}

맥스웰 응력 텐서의 성분:

T_{ij} = \epsilon_0\left(E_iE_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}E^2\right) + \frac{1}{\mu_0}\left(B_iB_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}B^2\right)

예제평면 전자기파의 포인팅 벡터

$+z$ 방향으로 전파하는 단색 평면파:

\mathbf{E} = E_0\cos(kz - \omega t)\hat{x}, \qquad \mathbf{B} = \frac{E_0}{c}\cos(kz - \omega t)\hat{y}

순간 포인팅 벡터:

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}E_0\frac{E_0}{c}\cos^2(kz-\omega t)\hat{z} = \frac{E_0^2}{\mu_0 c}\cos^2(kz-\omega t)\hat{z}

시간 평균:

\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}\hat{z} = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2\hat{z}

이를 세기(intensity) $I = |\langle\mathbf{S}\rangle| = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2$ 라 한다.

전자기파의 에너지 밀도와 운동량 밀도:

\langle u\rangle = \epsilon_0 E_0^2/2, \qquad \langle\mathbf{g}\rangle = \frac{\langle\mathbf{S}\rangle}{c^2} = \frac{\langle u\rangle}{c}\hat{z}

따라서 전자기파의 에너지와 운동량의 관계: $U = pc$ . 이는 질량이 0인 입자(광자)의 상대론적 에너지-운동량 관계와 일치한다.

참고복사압

전자기파가 완전 흡수면에 수직으로 입사할 때의 복사압(radiation pressure):

P = \frac{\langle S\rangle}{c} = \frac{I}{c}

완전 반사면의 경우 운동량 변화가 2배이므로: $P = 2I/c$

태양 복사의 세기( $I \approx 1400\,\text{W/m}^2$ )에 의한 복사압은 $P \approx 4.7\times 10^{-6}\,\text{Pa}$ 로 매우 작지만, 태양 돛(solar sail) 같은 우주 추진 개념의 원리가 된다.

포인팅 벡터 (Poynting Vector)