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물리학 강의 노트

법칙완성

맥스웰 방정식 (Maxwell's Equations)

1. 진공에서의 맥스웰 방정식

법칙5.2맥스웰 방정식 (미분형)

(I) 가우스 법칙 — 전기장의 발산은 전하 밀도에 비례한다:

∇⋅E=ρϵ0\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}

(II) 자기 가우스 법칙 — 자기장의 발산은 항상 0이다 (자기 단극자 부재):

∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0

(III) 패러데이 법칙 — 시변 자기장은 전기장의 회전을 유도한다:

∇×E=−∂B∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

(IV) 앙페르-맥스웰 법칙 — 전류와 시변 전기장이 자기장의 회전을 만든다:

∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

여기서 ϵ0≈8.854×10−12 F/m\epsilon_0 \approx 8.854\times 10^{-12}\,\text{F/m}, μ0=4π×10−7 H/m\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\,\text{H/m}, c=1/μ0ϵ0c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}.

2. 적분형

법칙5.3맥스웰 방정식 (적분형)

(I) ∮SE⋅da=Qencϵ0\displaystyle\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}

(II) ∮SB⋅da=0\displaystyle\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = 0

(III) ∮CE⋅dℓ=−dΦBdt\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

(IV) ∮CB⋅dℓ=μ0Ienc+μ0ϵ0dΦEdt\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0\epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}

3. 물질 속에서의 맥스웰 방정식

법칙5.4물질 속의 맥스웰 방정식

보조장 D=ϵ0E+P\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}와 H=1μ0B−M\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} - \mathbf{M}을 도입하면:

∇⋅D=ρf,∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_f, \qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0∇×E=−∂B∂t,∇×H=Jf+∂D∂t\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}

선형 등방성 매질에서: D=ϵE\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, H=B/μ\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu.

4. 맥스웰 방정식의 상대론적 형태

정의5.12공변 형태

전자기 텐서 FμνF^{\mu\nu}를 도입하면:

Fμν=∂μAν−∂νAμ=(0−Ex/c−Ey/c−Ez/cEx/c0−BzByEy/cBz0−BxEz/c−ByBx0)F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

맥스웰 방정식 전체가 단 두 개의 텐서 방정식으로 축약된다:

∂μFμν=μ0Jν(비균질 방정식: I, IV)\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu \qquad \text{(비균질 방정식: I, IV)}∂μF~μν=0(균질 방정식: II, III)\partial_\mu \tilde{F}^{\mu\nu} = 0 \qquad \text{(균질 방정식: II, III)}

여기서 F~μν=12ϵμναβFαβ\tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}는 쌍대 텐서(dual tensor)이다.

이 형태는 로런츠 변환에 대해 자동으로 공변이므로, 전자기 현상이 모든 관성계에서 동일한 법칙을 따름을 명시적으로 보여준다.

5. 맥스웰 방정식의 핵심 결과

5.1 빛의 속도

원천이 없는 영역(ρ=0\rho = 0, J=0\mathbf{J} = 0)에서:

∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2,∇2B=μ0ϵ0∂2B∂t2\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2\mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}

파동 속도 v=1/μ0ϵ0≈3×108 m/s=cv = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \approx 3\times 10^8\,\text{m/s} = c.

맥스웰의 가장 위대한 업적: 빛은 전자기파이다.

5.2 전하 보존

앙페르-맥스웰 법칙의 양변에 발산을 취하고 가우스 법칙을 사용하면:

∇⋅J+∂ρ∂t=0\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0

연속 방정식(전하 보존 법칙)이 맥스웰 방정식에 내장되어 있다.

예제맥스웰 방정식의 자유도 분석

맥스웰 방정식은 4개의 벡터 방정식으로 총 8개의 스칼라 방정식이다. 미지 함수는 E\mathbf{E}, B\mathbf{B}의 6개 성분이다.

그러나 발산 방정식 2개는 구속 조건(constraint)이다 — 이들은 시간 도함수를 포함하지 않으므로 초기 조건을 제약한다. 회전 방정식 6개가 시간 발전 방정식이다.

비앙키 항등식에 의해 ∂t(∇⋅B)=0\partial_t(\nabla\cdot\mathbf{B}) = 0이고, 연속 방정식에 의해 ∂t(∇⋅E−ρ/ϵ0)=0\partial_t(\nabla\cdot\mathbf{E} - \rho/\epsilon_0) = 0이므로, 초기 시각에 구속 조건이 만족되면 모든 시각에서 자동으로 만족된다.

따라서 실제로 독립적인 동역학 방정식은 6개이고, 이것이 6개의 장 성분을 결정한다.

참고맥스웰 방정식의 역사적 의의

맥스웰 방정식은 물리학 역사상 최초의 통합 이론이다:

  1. 전기와 자기의 통합: 쿨롱, 앙페르, 패러데이의 실험을 하나의 수학적 체계로 통합
  2. 광학의 흡수: 빛이 전자기파임을 예측 (1865년), 헤르츠가 실험 확인 (1888년)
  3. 특수 상대론의 씨앗: 맥스웰 방정식의 갈릴레이 변환 비불변성이 아인슈타인의 특수 상대론(1905년)으로 이어짐
  4. 양자전기역학의 토대: 맥스웰 방정식의 양자화가 QED를 낳고, 이는 게이지 이론과 표준 모형의 원형이 됨

파인먼의 표현을 빌리면: "먼 미래에서 볼 때 19세기의 가장 중요한 사건은 맥스웰의 전자기 법칙 발견일 것이다."