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물리학 강의 노트

개념완성

전자기파 방정식 (Electromagnetic Wave Equation)

1. 진공에서의 파동 방정식

정의6.1전자기파 방정식

원천이 없는 영역(ρ=0\rho = 0, J=0\mathbf{J} = 0)에서 맥스웰 방정식으로부터 전기장과 자기장은 각각 파동 방정식을 만족한다:

∇2E−μ0ϵ0∂2E∂t2=0\nabla^2\mathbf{E} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = 0∇2B−μ0ϵ0∂2B∂t2=0\nabla^2\mathbf{B} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2} = 0

파동의 전파 속도:

c=1μ0ϵ0=2.998×108 m/sc = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} = 2.998\times 10^8\,\text{m/s}

이것이 바로 빛의 속도이다. 맥스웰은 이 일치로부터 빛이 전자기파임을 예측했다.

2. 파동 방정식의 일반론

정의6.23차원 파동 방정식

일반적인 파동 방정식:

∇2f=1v2∂2f∂t2\nabla^2 f = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}

일반해는 임의의 파형이 속도 vv로 전파하는 것이다. 특히 단색(monochromatic) 평면파 해:

f(r,t)=f0ei(k⋅r−ωt)f(\mathbf{r},t) = f_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}

여기서:

  • k\mathbf{k}: 파수 벡터 (전파 방향, ∣k∣=k=2π/λ|\mathbf{k}| = k = 2\pi/\lambda)
  • ω\omega: 각진동수 (ω=2πν\omega = 2\pi\nu)
  • 분산 관계: ω=vk\omega = vk (진공에서 ω=ck\omega = ck)

3. 전자기파의 횡파 성질

정의6.3전자기파의 횡파 조건

맥스웰 방정식은 파동 방정식 외에 추가적인 구속 조건을 부과한다. 평면파 E=E0ei(k⋅r−ωt)\mathbf{E} = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}에 대해:

∇⋅E=0⇒k⋅E0=0\nabla\cdot\mathbf{E} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0 = 0∇⋅B=0⇒k⋅B0=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_0 = 0

따라서 E\mathbf{E}와 B\mathbf{B} 모두 전파 방향 k\mathbf{k}에 수직이다. 전자기파는 횡파(transverse wave)이다.

또한 패러데이 법칙으로부터:

B0=1ck^×E0=k×E0ω\mathbf{B}_0 = \frac{1}{c}\hat{k}\times\mathbf{E}_0 = \frac{\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0}{\omega}

따라서 E\mathbf{E}, B\mathbf{B}, k^\hat{k}는 서로 직교하는 오른손 계를 이루며, ∣B0∣=∣E0∣/c|\mathbf{B}_0| = |\mathbf{E}_0|/c이다.

4. 편광 (Polarization)

정의6.4편광

+z+z 방향으로 전파하는 평면파의 전기장은 xyxy 평면에 놓인다:

E=(E0xx^+E0yy^)ei(kz−ωt)\mathbf{E} = (E_{0x}\hat{x} + E_{0y}\hat{y})e^{i(kz-\omega t)}

여기서 E0xE_{0x}와 E0yE_{0y}는 일반적으로 복소수이다.

선편광(linear polarization): E0xE_{0x}와 E0yE_{0y}의 위상이 같을 때. 전기장은 고정된 방향으로 진동한다.

원편광(circular polarization): E0y=±iE0xE_{0y} = \pm iE_{0x}일 때. 전기장 벡터가 원을 그리며 회전한다.

  • E0y=+iE0xE_{0y} = +iE_{0x}: 좌원편광 (LCP)
  • E0y=−iE0xE_{0y} = -iE_{0x}: 우원편광 (RCP)

타원편광(elliptical polarization): 일반적인 경우. 전기장의 끝이 타원을 그린다.

임의의 편광은 두 직교 선편광 또는 좌·우 원편광의 중첩으로 분해할 수 있다.

5. 물질 속의 전자기파

정의6.5선형 매질에서의 파동

유전율 ϵ\epsilon, 투자율 μ\mu인 선형 등방성 매질에서 파동 속도:

v=1μϵ=cnv = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = \frac{c}{n}

여기서 굴절률(index of refraction):

n=μϵμ0ϵ0=μrϵr≈ϵr(μr≈1)n = \sqrt{\frac{\mu\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}} = \sqrt{\mu_r\epsilon_r} \approx \sqrt{\epsilon_r} \quad (\mu_r \approx 1)

대부분의 물질에서 n>1n > 1이므로 v<cv < c이다.

예제도체 속의 전자기파

전도도 σ\sigma인 도체에서 옴의 법칙 Jf=σE\mathbf{J}_f = \sigma\mathbf{E}를 맥스웰 방정식에 대입하면:

∇2E=μϵ∂2E∂t2+μσ∂E∂t\nabla^2\mathbf{E} = \mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} + \mu\sigma\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

단색파 e−iωte^{-i\omega t}를 가정하면 파수가 복소수가 된다:

k~2=μϵω2+iμσω\tilde{k}^2 = \mu\epsilon\omega^2 + i\mu\sigma\omegak~=k+iκ\tilde{k} = k + i\kappa

이는 파동이 감쇠(attenuation)하면서 전파함을 의미한다:

E=E0e−κzei(kz−ωt)\mathbf{E} = \mathbf{E}_0 e^{-\kappa z}e^{i(kz-\omega t)}

침투 깊이(skin depth):

δ=1κ≈2μσω(좋은 도체: σ≫ϵω)\delta = \frac{1}{\kappa} \approx \sqrt{\frac{2}{\mu\sigma\omega}} \qquad \text{(좋은 도체: } \sigma \gg \epsilon\omega\text{)}

이것이 교류 전류가 도체 표면 근처에만 흐르는 표피 효과(skin effect)의 원인이다.

6. 전자기파 스펙트럼

참고전자기파 스펙트럼

전자기파는 진동수에 따라 다양한 이름으로 불리지만, 물리적 본질은 모두 동일한 맥스웰 방정식의 해이다:

| 유형 | 파장 범위 | 진동수 범위 | |-----|----------|-----------| | 라디오파 | >1 m> 1\,\text{m} | <3×108 Hz< 3\times 10^8\,\text{Hz} | | 마이크로파 | 1 mm−1 m1\,\text{mm} - 1\,\text{m} | 3×108−3×1011 Hz3\times 10^8 - 3\times 10^{11}\,\text{Hz} | | 적외선 | 700 nm−1 mm700\,\text{nm} - 1\,\text{mm} | 3×1011−4.3×1014 Hz3\times 10^{11} - 4.3\times 10^{14}\,\text{Hz} | | 가시광선 | 400−700 nm400 - 700\,\text{nm} | 4.3×1014−7.5×1014 Hz4.3\times 10^{14} - 7.5\times 10^{14}\,\text{Hz} | | 자외선 | 10−400 nm10 - 400\,\text{nm} | 7.5×1014−3×1016 Hz7.5\times 10^{14} - 3\times 10^{16}\,\text{Hz} | | X선 | 0.01−10 nm0.01 - 10\,\text{nm} | 3×1016−3×1019 Hz3\times 10^{16} - 3\times 10^{19}\,\text{Hz} | | 감마선 | <0.01 nm< 0.01\,\text{nm} | >3×1019 Hz> 3\times 10^{19}\,\text{Hz} |

모든 전자기파는 진공에서 동일한 속도 cc로 전파한다.