물리학 강의 노트

정의6.6단색 평면파

$+z$ 방향으로 전파하는 단색 평면파(monochromatic plane wave)의 가장 일반적인 형태:

\tilde{\mathbf{E}}(z,t) = \tilde{E}_0 e^{i(kz-\omega t)}\hat{n}

\tilde{\mathbf{B}}(z,t) = \frac{\tilde{E}_0}{c} e^{i(kz-\omega t)}(\hat{z}\times\hat{n})

여기서 $\hat{n}$ 은 편광 방향이고, 물리적 장은 실수부이다: $\mathbf{E} = \text{Re}(\tilde{\mathbf{E}})$ .

핵심 관계들:

정의6.7복소 진폭과 존스 벡터

$z$ 방향으로 전파하는 일반적인 단색 평면파:

\tilde{\mathbf{E}} = (\tilde{E}_x\hat{x} + \tilde{E}_y\hat{y})e^{i(kz-\omega t)}

여기서 $\tilde{E}_x = E_{0x}e^{i\delta_x}$ , $\tilde{E}_y = E_{0y}e^{i\delta_y}$ 는 복소 진폭이다.

편광 상태는 존스 벡터(Jones vector)로 간결하게 표현된다:

\mathbf{J} = \begin{pmatrix} \tilde{E}_x \\ \tilde{E}_y \end{pmatrix}

주요 편광 상태:

정의6.8평면파의 에너지 수송

단색 평면파의 시간 평균 에너지 밀도:

\langle u \rangle = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2

(전기장과 자기장의 기여가 동일하다: $\langle u_E\rangle = \langle u_B\rangle = \frac{1}{4}\epsilon_0 E_0^2$ )

시간 평균 포인팅 벡터 (세기):

\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{2}\frac{E_0^2}{\mu_0 c}\hat{z} = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2\hat{z} = c\langle u\rangle\hat{z}

복소 표기에서:

\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{2\mu_0}\text{Re}(\tilde{\mathbf{E}}\times\tilde{\mathbf{B}}^*)

세기(intensity): $I = |\langle\mathbf{S}\rangle| = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_0^2$

정의6.9군속도와 위상속도

위상 속도(phase velocity): 등위상면의 전파 속도:

v_p = \frac{\omega}{k}

군속도(group velocity): 파속(wave packet)의 전파 속도:

v_g = \frac{d\omega}{dk}

진공에서: $\omega = ck$ 이므로 $v_p = v_g = c$ (분산 없음).

분산 매질에서: $n = n(\omega)$ 이므로 $v_p = c/n(\omega)$ , 그리고:

v_g = \frac{c}{n + \omega\frac{dn}{d\omega}}

정상 분산(normal dispersion, $dn/d\omega > 0$ )에서는 $v_g < v_p$ .

비정상 분산(anomalous dispersion, $dn/d\omega < 0$ )에서는 $v_g > v_p$ 이고, $v_g > c$ 도 가능하다. 그러나 이 경우 군속도는 에너지 전파 속도와 일치하지 않으며, 인과율(causality)은 위반되지 않는다.

예제가우시안 파속의 전파

진공에서 $t = 0$ 에 중심 파수 $k_0$ , 폭 $\Delta k$ 인 가우시안 파속:

E(z,0) = E_0 e^{-z^2/2\sigma^2}e^{ik_0 z}

시간 $t$ 후:

E(z,t) = E_0 e^{-(z-ct)^2/2\sigma^2}e^{ik_0(z-ct)}

진공에서는 분산이 없으므로 파속의 형태가 보존된 채 속도 $c$ 로 전파한다. 분산 매질에서는 파속이 점차 퍼져나간다(wave packet spreading).

예제유전체 속의 평면파

굴절률 $n$ 인 유전체에서의 평면파:

\mathbf{E} = E_0\cos(kz - \omega t)\hat{x}, \qquad k = \frac{n\omega}{c}

\mathbf{B} = \frac{n E_0}{c}\cos(kz - \omega t)\hat{y} = \frac{E_0}{v}\cos(kz - \omega t)\hat{y}

에너지 밀도와 포인팅 벡터:

\langle u\rangle = \frac{1}{2}\epsilon E_0^2, \qquad \langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{2}v\epsilon E_0^2\hat{z} = v\langle u\rangle\hat{z}

에너지 전파 속도는 $v = c/n$ 으로, 위상 속도와 같다 (비분산 매질의 경우).

참고임의의 전자기 파동의 분해

임의의 전자기 파동은 단색 평면파의 중첩(superposition)으로 분해할 수 있다. 이것이 푸리에 분석(Fourier analysis)의 핵심이다:

\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int\tilde{\mathbf{E}}_0(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega(k)t)}\,d^3k

맥스웰 방정식의 선형성에 의해, 각 평면파 성분이 독립적으로 맥스웰 방정식을 만족하면 그 중첩도 만족한다. 따라서 평면파를 이해하는 것이 임의의 전자기파를 이해하는 핵심이다.

분산 매질에서 $\omega(k)$ 가 $k$ 의 비선형 함수이면, 서로 다른 진동수 성분이 서로 다른 속도로 전파하여 파속이 변형된다. 이것이 분산(dispersion)의 본질이다.

평면파 (Plane Waves)