반사와 투과 (Reflection and Transmission)

1. 경계 조건과 반사·투과의 기본 원리

전자기파가 서로 다른 매질의 경계면에 입사하면, 경계 조건을 만족시키기 위해 반사파와 투과파가 발생한다.

정의6.10경계면에서의 전자기 경계 조건

두 선형 매질( $\epsilon_1, \mu_1$ 과 $\epsilon_2, \mu_2$ )의 경계면(자유 전하와 자유 전류 없음)에서:

$\epsilon_1 E_1^{\perp} = \epsilon_2 E_2^{\perp}$
$B_1^{\perp} = B_2^{\perp}$
$E_1^{\parallel} = E_2^{\parallel}$
$\frac{1}{\mu_1}B_1^{\parallel} = \frac{1}{\mu_2}B_2^{\parallel}$

이 조건들이 입사파, 반사파, 투과파의 진폭 관계를 결정한다.

2. 수직 입사

정의6.11수직 입사에서의 반사·투과 계수

전자기파가 경계면에 수직으로 입사할 때:

입사파: $\tilde{E}_I = E_{0I}e^{i(k_1 z-\omega t)}\hat{x}$

반사파: $\tilde{E}_R = E_{0R}e^{i(-k_1 z-\omega t)}\hat{x}$

투과파: $\tilde{E}_T = E_{0T}e^{i(k_2 z-\omega t)}\hat{x}$

경계 조건( $z=0$ 에서 $E^{\parallel}$ 과 $B^{\parallel}/\mu$ 연속)으로부터:

E_{0I} + E_{0R} = E_{0T}

\frac{1}{\mu_1 v_1}(E_{0I} - E_{0R}) = \frac{1}{\mu_2 v_2}E_{0T}

반사 계수: $r = \frac{E_{0R}}{E_{0I}} = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}$ (비자성 매질, $\mu_1 \approx \mu_2 \approx \mu_0$ )

투과 계수: $t = \frac{E_{0T}}{E_{0I}} = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}$

에너지 기준:

R = r^2 = \left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2, \qquad T = \frac{n_2}{n_1}t^2 = \frac{4n_1 n_2}{(n_1+n_2)^2}

R + T = 1 \quad \text{(에너지 보존)}

예제공기-유리 경계면

공기( $n_1 = 1$ )에서 유리( $n_2 = 1.5$ )로 수직 입사:

r = \frac{1-1.5}{1+1.5} = -0.2, \qquad R = 0.04 = 4\%

t = \frac{2}{2.5} = 0.8, \qquad T = \frac{1.5}{1}\times 0.64 = 0.96 = 96\%

세기의 4%가 반사되고 96%가 투과한다. $r < 0$ 은 반사 시 위상이 $\pi$ 만큼 뒤집힘을 의미한다 (광소한 매질에서 광밀한 매질로 입사할 때).

3. 사선 입사와 스넬의 법칙

정의6.12반사·굴절 법칙

입사각 $\theta_I$ , 반사각 $\theta_R$ , 굴절각 $\theta_T$ 에 대해:

반사 법칙: $\theta_R = \theta_I$

스넬의 법칙 (굴절 법칙):

n_1\sin\theta_I = n_2\sin\theta_T

이 법칙들은 경계면에서 위상의 연속성 조건으로부터 유도된다. 입사파, 반사파, 투과파의 위상이 경계면의 모든 점에서 같아야 하므로:

k_1\sin\theta_I = k_1\sin\theta_R = k_2\sin\theta_T

4. 전반사

정의6.13전반사와 임계각

$n_1 > n_2$ (광밀 매질에서 광소 매질로 입사)일 때, 입사각이 임계각(critical angle) $\theta_c$ 보다 크면 전반사(total internal reflection)가 일어난다:

\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}

$\theta_I > \theta_c$ 일 때 스넬의 법칙에 의한 $\sin\theta_T > 1$ 은 물리적으로 가능하지 않다. 이때 투과파는 경계면을 따라 진행하는 소멸파(evanescent wave)가 된다:

\tilde{\mathbf{E}}_T = E_{0T}e^{-\kappa z}e^{i(k_x x - \omega t)}

여기서 $\kappa = k_2\sqrt{\sin^2\theta_I(n_1/n_2)^2 - 1}$ . 소멸파는 $z$ 방향으로 지수적으로 감쇠한다.

참고소멸파와 터널링

전반사에서 소멸파는 에너지를 수송하지 않지만( $\langle S_z\rangle = 0$ ), 경계면에 매우 가까이( $\sim\lambda$ 이내) 다른 매질을 놓으면 소멸파가 "터널링"하여 에너지가 전달된다. 이 좌절 전반사(frustrated total internal reflection, FTIR)는 양자역학의 터널링과 동일한 파동 현상이다. 이는 광섬유 커플링, 터치스크린 기술 등에 활용된다.

5. 브루스터 각

정의6.14브루스터 각

p-편광(입사면에 평행한 편광)의 경우, 특정 입사각에서 반사가 완전히 사라진다. 이 각도를 브루스터 각(Brewster's angle) $\theta_B$ 라 한다:

\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}

브루스터 각에서 반사파와 투과파는 서로 직각을 이룬다: $\theta_R + \theta_T = 90°$ .

물리적 해석: 투과파 방향은 반사파 전기장의 진동 방향과 일치하므로, 투과된 매질 내의 진동 쌍극자가 반사 방향으로 복사를 방출하지 못한다 (쌍극자는 축 방향으로 복사하지 않기 때문).

예제편광 선글라스의 원리

빛이 수면이나 유리 등에 비스듬히 반사되면, 반사광은 부분적으로 편광된다 (s-편광 성분이 p-편광 성분보다 더 많이 반사됨). 브루스터 각 근처에서는 반사광이 거의 완전한 s-편광이 된다.

편광 선글라스는 s-편광(수평 편광)을 차단하도록 설계되어 있어, 수면이나 도로에서 반사된 눈부신 빛(glare)을 효과적으로 줄인다.

6. 다층 박막

참고다층 반사 방지 코팅

단일 경계면의 반사를 줄이기 위해, 중간 굴절률의 박막(thin film)을 코팅한다. 두께가 $\lambda/4$ 인 박막( $n_f = \sqrt{n_1 n_2}$ )을 사용하면, 박막의 앞뒤 경계면에서의 반사가 상쇄 간섭하여 반사가 0이 된다:

n_f = \sqrt{n_1 n_2}, \qquad d = \frac{\lambda}{4n_f}

이 원리를 확장한 다층 유전체 코팅(multilayer dielectric coating)은 현대 광학에서 핵심적으로 사용되며, 전달 행렬 형식(transfer matrix method)으로 체계적으로 분석된다.