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물리학 강의 노트

유도완성

맥스웰에서 파동방정식 유도 (Wave Equation from Maxwell's Equations)

1. 출발점: 원천이 없는 맥스웰 방정식

유도진공에서의 전자기 파동방정식

원천이 없는 영역(ρ=0\rho = 0, J=0\mathbf{J} = 0)에서 맥스웰 방정식:

(I)∇⋅E=0\text{(I)} \quad \nabla\cdot\mathbf{E} = 0(II)∇⋅B=0\text{(II)} \quad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0(III)∇×E=−∂B∂t\text{(III)} \quad \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}(IV)∇×B=μ0ϵ0∂E∂t\text{(IV)} \quad \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

단계 1: 전기장의 파동방정식

식 (III)의 양변에 회전을 취한다:

∇×(∇×E)=−∂∂t(∇×B)\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B})

좌변에 벡터 항등식 ∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}를 적용한다. 식 (I)에 의해 ∇⋅E=0\nabla\cdot\mathbf{E} = 0이므로:

−∇2E=−∂∂t(∇×B)-\nabla^2\mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B})

우변에 식 (IV)를 대입:

−∇2E=−∂∂t(μ0ϵ0∂E∂t)=−μ0ϵ0∂2E∂t2-\nabla^2\mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right) = -\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}

따라서:

∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2\boxed{\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}}

단계 2: 자기장의 파동방정식

동일한 절차를 식 (IV)에서 시작하여 수행한다. 식 (IV)의 양변에 회전을 취하면:

∇×(∇×B)=μ0ϵ0∂∂t(∇×E)\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{E})

좌변에 벡터 항등식과 식 (II)의 ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0 적용, 우변에 식 (III) 대입:

−∇2B=μ0ϵ0∂∂t(−∂B∂t)-\nabla^2\mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right)∇2B=μ0ϵ0∂2B∂t2\boxed{\nabla^2\mathbf{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}}

단계 3: 파동 속도의 결정

두 방정식 모두 표준 파동 방정식 ∇2f=1v2∂2f∂t2\nabla^2 f = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}의 형태이다. 파동 속도:

v=1μ0ϵ0v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}

수치를 대입:

v=1(4π×10−7)(8.854×10−12)=2.998×108 m/s=cv = \frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.854\times10^{-12})}} = 2.998\times10^8\,\text{m/s} = c

이것이 바로 빛의 속도이다. 맥스웰(1865년)은 이 결과로부터 빛은 전자기파라고 결론지었다.

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2. 물질 속에서의 파동방정식

유도선형 매질에서의 파동방정식

자유 전하와 자유 전류가 없는 선형 등방성 매질(D=ϵE\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, B=μH\mathbf{B} = \mu\mathbf{H})에서:

∇⋅E=0,∇×E=−μ∂H∂t\nabla\cdot\mathbf{E} = 0, \qquad \nabla\times\mathbf{E} = -\mu\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t}∇⋅H=0,∇×H=ϵ∂E∂t\nabla\cdot\mathbf{H} = 0, \qquad \nabla\times\mathbf{H} = \epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

동일한 유도 과정을 거치면:

∇2E=μϵ∂2E∂t2\nabla^2\mathbf{E} = \mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}

파동 속도: v=1/μϵ=c/nv = 1/\sqrt{\mu\epsilon} = c/n, 여기서 n=cμϵ=μrϵrn = c\sqrt{\mu\epsilon} = \sqrt{\mu_r\epsilon_r}.

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3. 도체 내의 파동방정식

유도도체에서의 감쇠 파동방정식

전도도 σ\sigma인 도체에서 Jf=σE\mathbf{J}_f = \sigma\mathbf{E}를 포함하면:

∇×B=μσE+μϵ∂E∂t\nabla\times\mathbf{B} = \mu\sigma\mathbf{E} + \mu\epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

파동방정식 유도 과정에서 추가 항이 나타난다:

∇2E=μϵ∂2E∂t2+μσ∂E∂t\nabla^2\mathbf{E} = \mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} + \mu\sigma\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

μσ∂E/∂t\mu\sigma\partial\mathbf{E}/\partial t 항이 감쇠(damping)를 야기한다.

단색파 E~=E~0ei(k~z−ωt)\tilde{\mathbf{E}} = \tilde{\mathbf{E}}_0 e^{i(\tilde{k}z-\omega t)}를 대입하면:

k~2=μϵω2+iμσω\tilde{k}^2 = \mu\epsilon\omega^2 + i\mu\sigma\omega

복소 파수: k~=k+iκ\tilde{k} = k + i\kappa

좋은 도체 (σ≫ϵω\sigma \gg \epsilon\omega):

k≈κ≈μσω2k \approx \kappa \approx \sqrt{\frac{\mu\sigma\omega}{2}}

침투 깊이 (skin depth):

δ=1κ=2μσω\delta = \frac{1}{\kappa} = \sqrt{\frac{2}{\mu\sigma\omega}}

전자기파는 도체 내부로 δ\delta 정도만 침투한 후 거의 완전히 감쇠한다.

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예제구리에서의 침투 깊이

구리의 전도도: σ=5.96×107 S/m\sigma = 5.96\times 10^7\,\text{S/m}

주파수 60 Hz (가정용 교류):

δ=2(4π×10−7)(5.96×107)(2π×60)≈8.4 mm\delta = \sqrt{\frac{2}{(4\pi\times10^{-7})(5.96\times10^7)(2\pi\times60)}} \approx 8.4\,\text{mm}

주파수 1 GHz (마이크로파):

δ≈2.1 μm\delta \approx 2.1\,\mu\text{m}

고주파에서 전류가 극히 얇은 표면층에만 흐르므로, 고주파 회로에서는 도체의 표면 상태가 매우 중요하다.

4. 퍼텐셜 형태의 파동방정식

유도로런츠 게이지에서의 파동방정식

로런츠 게이지 ∇⋅A+μ0ϵ0∂V/∂t=0\nabla\cdot\mathbf{A} + \mu_0\epsilon_0\partial V/\partial t = 0 하에서 퍼텐셜은 비균질 파동방정식을 만족한다:

□2V=−ρϵ0\Box^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}□2A=−μ0J\Box^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}

여기서 □2=∇2−1c2∂2∂t2\Box^2 = \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}는 달랑베르 연산자이다.

이 비균질 파동방정식의 해는 지연 퍼텐셜(retarded potential)로 주어진다:

V(r,t)=14πϵ0∫ρ(r′,tr)∣r−r′∣ d3r′V(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'A(r,t)=μ04π∫J(r′,tr)∣r−r′∣ d3r′\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'

여기서 tr=t−∣r−r′∣/ct_r = t - |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/c는 지연 시각(retarded time)이다.

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참고역사적 의의: 맥스웰의 예측과 헤르츠의 확인

맥스웰은 1865년 논문 "전자기장의 동역학적 이론"에서 이 유도를 수행하고, v=cv = c라는 결과로부터 빛의 전자기적 본질을 예측했다. 그러나 맥스웰은 1879년에 사망했고, 전자기파의 실험적 확인은 1887-1888년 헤르츠(Heinrich Hertz)에 의해 이루어졌다. 헤르츠는 전자기파의 생성, 전파, 반사, 굴절, 편광, 간섭을 실험으로 보였으며, 이로써 빛과 전자기파의 동일성이 확립되었다.