프레넬 방정식 (Fresnel Equations)

1. 편광 모드의 정의

정의6.15s-편광과 p-편광

사선 입사에서 입사면(plane of incidence: 입사 광선과 경계면 법선이 이루는 평면)을 기준으로 두 가지 독립적인 편광 모드를 정의한다:

s-편광 (TE 모드): 전기장이 입사면에 수직 (senkrecht, 독일어로 "수직")
p-편광 (TM 모드): 전기장이 입사면에 평행 (parallel)

임의의 편광은 이 두 모드의 중첩이다. 경계면의 선형성에 의해 각 모드를 독립적으로 분석할 수 있다.

2. 프레넬 방정식

법칙6.1프레넬 방정식

비자성 매질( $\mu_1 = \mu_2 = \mu_0$ ) 사이의 경계면에서, 입사각 $\theta_I$ 와 굴절각 $\theta_T$ (스넬의 법칙: $n_1\sin\theta_I = n_2\sin\theta_T$ )에 대한 반사·투과 계수:

s-편광 (TE):

r_s = \frac{E_{0R}}{E_{0I}} = \frac{n_1\cos\theta_I - n_2\cos\theta_T}{n_1\cos\theta_I + n_2\cos\theta_T}

t_s = \frac{E_{0T}}{E_{0I}} = \frac{2n_1\cos\theta_I}{n_1\cos\theta_I + n_2\cos\theta_T}

p-편광 (TM):

r_p = \frac{E_{0R}}{E_{0I}} = \frac{n_2\cos\theta_I - n_1\cos\theta_T}{n_2\cos\theta_I + n_1\cos\theta_T}

t_p = \frac{E_{0T}}{E_{0I}} = \frac{2n_1\cos\theta_I}{n_2\cos\theta_I + n_1\cos\theta_T}

스넬의 법칙을 사용하여 $\theta_T$ 를 소거한 순수 $\theta_I$ 형태:

r_s = \frac{n_1\cos\theta_I - \sqrt{n_2^2 - n_1^2\sin^2\theta_I}}{n_1\cos\theta_I + \sqrt{n_2^2 - n_1^2\sin^2\theta_I}}

r_p = \frac{n_2^2\cos\theta_I - n_1\sqrt{n_2^2 - n_1^2\sin^2\theta_I}}{n_2^2\cos\theta_I + n_1\sqrt{n_2^2 - n_1^2\sin^2\theta_I}}

3. 에너지 반사율과 투과율

정의6.16반사율과 투과율

에너지 기준의 반사율(reflectance) $R$ 과 투과율(transmittance) $T$ :

R_s = |r_s|^2, \qquad R_p = |r_p|^2

T_s = \frac{n_2\cos\theta_T}{n_1\cos\theta_I}|t_s|^2, \qquad T_p = \frac{n_2\cos\theta_T}{n_1\cos\theta_I}|t_p|^2

$\cos\theta_T/\cos\theta_I$ 인자는 입사 빔과 투과 빔의 단면적 비율을 반영한다.

에너지 보존: $R_s + T_s = 1$ , $R_p + T_p = 1$ .

비편광(unpolarized)에 대한 평균 반사율: $R = (R_s + R_p)/2$ .

4. 특수한 경우의 분석

4.1 수직 입사 ( $\theta_I = 0$ )

r_s = r_p = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}, \qquad R = \left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2

s와 p 편광의 구별이 사라진다.

4.2 브루스터 각

$r_p = 0$ 이 되는 조건: $n_2\cos\theta_I = n_1\cos\theta_T$

스넬의 법칙과 결합하면: $\tan\theta_B = n_2/n_1$

예제프레넬 계수의 각도 의존성 분석

공기( $n_1=1$ )에서 유리( $n_2=1.5$ )로의 입사에서:

수직 입사 ( $\theta_I=0°$ ): $R_s = R_p = 4\%$
브루스터 각 ( $\theta_B \approx 56.3°$ ): $R_p = 0$ , $R_s \approx 15\%$
스침 입사 ( $\theta_I \to 90°$ ): $R_s = R_p \to 100\%$

$r_s$ 는 모든 입사각에서 음수(또는 0)인 반면, $r_p$ 는 브루스터 각에서 부호가 바뀐다. 이 부호 변화는 반사 시 위상 변화의 차이를 의미한다.

4.3 스침 입사 ( $\theta_I \to 90°$ )

r_s \to -1, \qquad r_p \to +1, \qquad R \to 1

거의 수평으로 입사하는 빛은 매질에 관계없이 거의 완전히 반사된다. 이것이 멀리서 보면 모든 표면이 거울처럼 보이는 이유이다.

5. 전반사 영역에서의 프레넬 계수

정의6.17전반사의 프레넬 계수

$n_1 > n_2$ 이고 $\theta_I > \theta_c$ 일 때, $\cos\theta_T$ 가 순허수가 된다:

\cos\theta_T = i\sqrt{\sin^2\theta_I\frac{n_1^2}{n_2^2} - 1} \equiv i\kappa/k_2

프레넬 계수는 크기가 1인 복소수가 된다:

|r_s| = |r_p| = 1 \qquad (R = 100\%)

그러나 위상 변화가 발생한다:

r_s = e^{i\delta_s}, \qquad r_p = e^{i\delta_p}

s와 p 편광의 위상 변화가 다르므로, 선편광이 전반사 후 타원편광이 된다.

위상 차이:

\tan\frac{\delta_s}{2} = \frac{\sqrt{\sin^2\theta_I - (n_2/n_1)^2}}{\cos\theta_I}

\tan\frac{\delta_p}{2} = \frac{(n_1/n_2)^2\sqrt{\sin^2\theta_I - (n_2/n_1)^2}}{\cos\theta_I}

6. 일반화: 자성 매질

참고자성 매질에서의 프레넬 방정식

$\mu_1 \neq \mu_2$ 인 일반적인 경우, 프레넬 방정식은 다음과 같이 수정된다:

r_s = \frac{\mu_2 n_1\cos\theta_I - \mu_1 n_2\cos\theta_T}{\mu_2 n_1\cos\theta_I + \mu_1 n_2\cos\theta_T}

r_p = \frac{\mu_1 n_2\cos\theta_I - \mu_2 n_1\cos\theta_T}{\mu_1 n_2\cos\theta_I + \mu_2 n_1\cos\theta_T}

파동 임피던스 $Z = \sqrt{\mu/\epsilon}$ 를 도입하면 보다 대칭적인 형태로 쓸 수 있다:

r_s = \frac{Z_2\cos\theta_I - Z_1\cos\theta_T}{Z_2\cos\theta_I + Z_1\cos\theta_T}, \qquad r_p = \frac{Z_1\cos\theta_I - Z_2\cos\theta_T}{Z_1\cos\theta_I + Z_2\cos\theta_T}

이 형태는 전송선 이론의 임피던스 정합 개념과 직접 대응된다.