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물리학 강의 노트

개념완성

지연 퍼텐셜 (Retarded Potentials)

1. 인과율과 지연 시각

정의7.1지연 시각

관측점 r\mathbf{r}에서 시각 tt에 관측되는 전자기장은, 원천점 r′\mathbf{r}'에서 과거 시각 trt_r에 방출된 신호에 의한 것이다. 신호가 빛의 속도 cc로 전파하므로:

tr=t−∣r−r′∣c=t−rct_r = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c} = t - \frac{\mathscr{r}}{c}

이 trt_r을 지연 시각(retarded time)이라 한다. 인과율에 의해 현재의 관측은 과거의 원천에 의해 결정된다.

2. 지연 퍼텐셜

정의7.2지연 퍼텐셜

비균질 파동방정식의 인과적 해(지연 퍼텐셜, retarded potentials):

V(r,t)=14πϵ0∫ρ(r′,tr)∣r−r′∣ d3r′V(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'A(r,t)=μ04π∫J(r′,tr)∣r−r′∣ d3r′\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'

핵심: 정전기학/정자기학의 공식과 동일한 형태이지만, 원천의 값을 현재 시각 tt가 아닌 지연 시각 trt_r에서 평가한다.

각 원천점 r′\mathbf{r}'마다 지연 시각 trt_r이 다름에 주의하라. 이것이 지연 퍼텐셜 계산을 어렵게 만드는 핵심이다.

참고선진 퍼텐셜

수학적으로 파동방정식은 선진 퍼텐셜(advanced potential)도 허용한다:

ta=t+rct_a = t + \frac{\mathscr{r}}{c}

이는 "미래의 원천"이 현재의 장을 결정한다는 것으로, 인과율에 위배된다. 물리적으로는 지연 퍼텐셜만을 사용한다. 그러나 휠러-파인먼 흡수체 이론(Wheeler-Feynman absorber theory)에서는 선진 퍼텐셜과 지연 퍼텐셜의 조합이 등장한다.

3. 지연 퍼텐셜의 유도

유도그린 함수를 이용한 지연 퍼텐셜 유도

비균질 파동방정식:

□2ϕ=−f(r,t),□2=∇2−1c2∂2∂t2\Box^2\phi = -f(\mathbf{r},t), \qquad \Box^2 = \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}

이 방정식의 그린 함수 G(r,t;r′,t′)G(\mathbf{r},t;\mathbf{r}',t')는:

□2G=−δ3(r−r′)δ(t−t′)\Box^2 G = -\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\delta(t-t')

을 만족한다. 구 대칭과 인과율 조건을 적용하면:

G(+)(r,t;r′,t′)=14π∣r−r′∣δ ⁣(t′−[t−∣r−r′∣c])G^{(+)}(\mathbf{r},t;\mathbf{r}',t') = \frac{1}{4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\delta\!\left(t' - \left[t - \frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c}\right]\right)

이것이 지연 그린 함수(retarded Green's function)이다. 일반해:

ϕ(r,t)=∫G(+)(r,t;r′,t′)f(r′,t′) d3r′ dt′\phi(\mathbf{r},t) = \int G^{(+)}(\mathbf{r},t;\mathbf{r}',t')f(\mathbf{r}',t')\,d^3r'\,dt'

δ\delta 함수에 의한 t′t' 적분을 수행하면:

ϕ(r,t)=14π∫f(r′,tr)∣r−r′∣ d3r′\phi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi}\int\frac{f(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'

ϕ=V\phi = V, f=ρ/ϵ0f = \rho/\epsilon_0 또는 ϕ=Ai\phi = A_i, f=μ0Jif = \mu_0 J_i를 대입하면 지연 퍼텐셜을 얻는다.

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4. 제피멘코 방정식

정의7.3제피멘코 방정식

지연 퍼텐셜로부터 E=−∇V−∂A/∂t\mathbf{E} = -\nabla V - \partial\mathbf{A}/\partial t와 B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}를 직접 계산하면, 시변 전하·전류 분포에 의한 전자기장의 일반적 표현인 제피멘코 방정식(Jefimenko's equations)을 얻는다:

E(r,t)=14πϵ0∫[ρ(r′,tr)r2r^+ρ˙(r′,tr)crr^−J˙(r′,tr)c2r]d3r′\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\left[\frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{\mathscr{r}^2}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} + \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}',t_r)}{c\mathscr{r}}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',t_r)}{c^2\mathscr{r}}\right]d^3r'B(r,t)=μ04π∫[J(r′,tr)r2+J˙(r′,tr)cr]×r^ d3r′\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',t_r)}{\mathscr{r}^2} + \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',t_r)}{c\mathscr{r}}\right]\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\,d^3r'

여기서 점 위의 점은 지연 시각에서의 시간 미분을 의미한다: ρ˙=∂ρ/∂t∣tr\dot{\rho} = \partial\rho/\partial t|_{t_r}.

참고제피멘코 방정식의 물리적 해석

제피멘코 방정식의 각 항은 서로 다른 물리적 기원을 가진다:

전기장:

  • 제1항: 쿨롱 법칙의 지연 버전 (∝1/r2\propto 1/\mathscr{r}^2) — 근거리장
  • 제2항: 전하 밀도 변화에 의한 기여 (∝1/r\propto 1/\mathscr{r})
  • 제3항: 전류 가속에 의한 기여 (∝1/r\propto 1/\mathscr{r}) — 복사장

자기장:

  • 제1항: 비오-사바르 법칙의 지연 버전 (∝1/r2\propto 1/\mathscr{r}^2) — 근거리장
  • 제2항: 전류 가속에 의한 기여 (∝1/r\propto 1/\mathscr{r}) — 복사장

1/r1/\mathscr{r} 항(복사장)은 먼 거리에서 지배적이며, 이것이 전자기파의 원천이다.

5. 운동하는 점전하의 퍼텐셜

예제등속 운동하는 점전하

속도 v=vz^\mathbf{v} = v\hat{z} (일정)로 운동하는 점전하 qq의 전자기장은 지연 퍼텐셜로부터 구하거나, 정지 전하의 쿨롱장에 로런츠 변환을 적용하여 구할 수 있다:

E=q4πϵ01−v2/c2(1−v2sin⁡2θ/c2)3/2R^R2\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1-v^2/c^2}{(1-v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\hat{R}}{R^2}

여기서 RR은 전하의 현재 위치에서 관측점까지의 거리, θ\theta는 v\mathbf{v}와 R^\hat{R} 사이의 각도이다.

핵심 특징:

  • 전기장은 전하의 현재 위치를 가리킨다 (지연 위치가 아님!)
  • 운동 방향(θ=0\theta = 0): E=q4πϵ0R2(1−v2/c2)E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2}(1-v^2/c^2) — 감소
  • 운동 수직 방향(θ=π/2\theta = \pi/2): E=q4πϵ0R211−v2/c2E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} — 증가
  • v→cv \to c에서 전기장이 운동 수직 방향의 얇은 "팬케이크"에 집중된다