물리학 강의 노트

정의7.4진동하는 전기 쌍극자

시간에 따라 변하는 전기 쌍극자 모멘트 $\mathbf{p}(t) = p_0\cos(\omega t)\hat{z}$ 를 가진 원천에서, 원거리( $r \gg c/\omega = \lambda/2\pi$ )의 복사장(radiation field):

\mathbf{E}_{\text{rad}} = -\frac{\mu_0 p_0\omega^2}{4\pi}\frac{\sin\theta}{r}\cos[\omega(t-r/c)]\,\hat{\theta}

\mathbf{B}_{\text{rad}} = \frac{1}{c}\hat{r}\times\mathbf{E}_{\text{rad}} = -\frac{\mu_0 p_0\omega^2}{4\pi c}\frac{\sin\theta}{r}\cos[\omega(t-r/c)]\,\hat{\phi}

핵심 특성:

$\mathbf{E}$ , $\mathbf{B}$ , $\hat{r}$ 가 서로 직교 (횡파)
$|\mathbf{E}| = c|\mathbf{B}|$ (평면파와 동일한 관계)
$1/r$ 에 비례 (복사장의 특징)
$\sin\theta$ 에 비례 (축 방향에서 0, 적도 방향에서 최대)
$\omega^2$ 에 비례 (고주파일수록 강한 복사)

정의7.5전기 쌍극자 복사의 각도 분포

시간 평균 포인팅 벡터:

\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{32\pi^2 c}\frac{\sin^2\theta}{r^2}\hat{r}

이를 복사 패턴(radiation pattern)이라 하며, 전형적인 도넛형 ( $\sin^2\theta$ ) 분포를 가진다:

쌍극자 축 방향( $\theta = 0, \pi$ ): 복사 0
적도 방향( $\theta = \pi/2$ ): 복사 최대

총 복사 전력 (전체 구면에 대해 적분):

\langle P\rangle = \oint\langle\mathbf{S}\rangle\cdot d\mathbf{a} = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{12\pi c}

일반적 형태(임의의 시간 의존성을 가진 쌍극자):

P(t) = \frac{\mu_0}{6\pi c}|\ddot{\mathbf{p}}(t_r)|^2

복사 전력은 쌍극자 모멘트의 두 번째 시간 도함수의 제곱에 비례한다. 일정한 쌍극자( $\ddot{\mathbf{p}}=0$ )나 일정한 속도로 변하는 쌍극자( $\ddot{\mathbf{p}}=0$ )는 복사하지 않는다.

예제안테나의 복사

길이 $d \ll \lambda$ 인 짧은 직선 안테나에 전류 $I(t) = I_0\cos(\omega t)$ 가 흐를 때:

\mathbf{p}(t) = \frac{I_0 d}{\omega}\sin(\omega t)\hat{z}

\ddot{\mathbf{p}}(t) = -I_0 d\omega\sin(\omega t)\hat{z}

시간 평균 복사 전력:

\langle P\rangle = \frac{\mu_0 I_0^2 d^2\omega^2}{12\pi c} = \frac{\mu_0 c}{12\pi}\left(\frac{I_0 d}{\lambda}\right)^2 \cdot (2\pi)^2

복사 저항(radiation resistance):

R_{\text{rad}} = \frac{2\langle P\rangle}{I_0^2} = \frac{2\pi}{3}\mu_0 c\left(\frac{d}{\lambda}\right)^2 \approx 790\left(\frac{d}{\lambda}\right)^2\,\Omega

$d/\lambda \ll 1$ 이면 복사 저항이 매우 작아 효율적인 복사가 어렵다. 이것이 안테나의 길이가 파장에 비례해야 하는 이유이다.

정의7.6자기 쌍극자 복사

시간에 따라 변하는 자기 쌍극자 모멘트 $\mathbf{m}(t)$ 에 의한 원거리 복사장:

\mathbf{E}_{\text{rad}} = -\frac{\mu_0}{4\pi c}\frac{\ddot{\mathbf{m}}(t_r)\times\hat{r}}{r}\cdot\sin\theta

총 복사 전력:

P = \frac{\mu_0}{6\pi c^3}|\ddot{\mathbf{m}}|^2

전기 쌍극자 복사와 비교하면, 같은 주파수에서:

\frac{P_{\text{mag}}}{P_{\text{elec}}} \sim \left(\frac{v}{c}\right)^2 \ll 1

여기서 $v$ 는 전하의 속도이다. 비상대론적 원천에서는 자기 쌍극자 복사가 전기 쌍극자 복사보다 훨씬 약하다.

예제레일리 산란 — 하늘이 파란 이유

전자기파가 파장보다 훨씬 작은 입자( $d \ll \lambda$ )에 입사하면, 입자 내의 전자가 입사 전기장에 의해 진동하여 유도 쌍극자를 형성하고, 이 진동 쌍극자가 전자기파를 재방출(산란)한다.

유도 쌍극자: $\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}_{\text{inc}}$ , 여기서 $\alpha$ 는 편극률.

산란 전력 ( $\ddot{\mathbf{p}} = -\alpha\omega^2\mathbf{E}_0 e^{-i\omega t}$ ):

P_{\text{scattered}} = \frac{\mu_0\alpha^2\omega^4}{12\pi c}E_0^2 \propto \omega^4 \propto \frac{1}{\lambda^4}

이것이 레일리 산란(Rayleigh scattering)이다. 산란 강도가 $\lambda^{-4}$ 에 비례하므로:

파란 빛( $\lambda \approx 450\,\text{nm}$ )은 빨간 빛( $\lambda \approx 700\,\text{nm}$ )보다 $(700/450)^4 \approx 5.7$ 배 더 강하게 산란된다
이것이 하늘이 파랗게 보이는 이유이다
해질녘에는 빛이 대기를 긴 경로로 통과하여 파란 빛이 대부분 산란되어 빠지고, 빨간 빛만 관측자에게 도달한다 — 노을이 붉은 이유

참고다중극 복사의 위계

일반적인 전하·전류 분포의 복사를 다중극으로 전개하면:

| 차수 | 복사 | 전력 비율 | |-----|------|----------| | 전기 쌍극자 (E1) | $P \propto \omega^4 p^2$ | $1$ | | 자기 쌍극자 (M1) | $P \propto \omega^4 m^2/c^2$ | $(v/c)^2$ | | 전기 사중극자 (E2) | $P \propto \omega^6 Q^2/c^2$ | $(kd)^2 \sim (v/c)^2$ |

비상대론적 원천( $v \ll c$ , $kd \ll 1$ )에서는 전기 쌍극자 복사가 지배적이다. 그러나 전기 쌍극자 모멘트가 대칭성에 의해 사라지면 (예: 핵의 감마선 전이에서), 더 높은 차수의 복사가 중요해진다.

원자 전이에서는 선택 규칙(selection rules)이 각 다중극 차수의 허용 여부를 결정한다: $\Delta l = \pm 1$ (E1), $\Delta l = 0$ (M1) 등.

쌍극자 복사 (Dipole Radiation)

1. 전기 쌍극자 복사

2. 복사 패턴과 복사 전력

3. 자기 쌍극자 복사

4. 레일리 산란

5. 전자기 복사의 일반론