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물리학 강의 노트

유도완성

리나르-비헤르트 퍼텐셜 유도 (Lienard-Wiechert Potentials Derivation)

1. 문제의 설정

정의7.7운동하는 점전하의 퍼텐셜

전하 qq가 궤적 w(t)\mathbf{w}(t)를 따라 운동할 때, 관측점 (r,t)(\mathbf{r}, t)에서의 퍼텐셜을 구하는 것이 목표이다.

점전하의 전하·전류 밀도:

ρ(r′,t)=qδ3(r′−w(t))\rho(\mathbf{r}',t) = q\delta^3(\mathbf{r}'-\mathbf{w}(t))J(r′,t)=qv(t)δ3(r′−w(t))\mathbf{J}(\mathbf{r}',t) = q\mathbf{v}(t)\delta^3(\mathbf{r}'-\mathbf{w}(t))

여기서 v(t)=w˙(t)\mathbf{v}(t) = \dot{\mathbf{w}}(t)는 전하의 속도이다.

2. 지연 퍼텐셜에 대입

유도리나르-비헤르트 퍼텐셜

지연 퍼텐셜에 점전하의 전하 밀도를 대입한다:

V(r,t)=14πϵ0∫ρ(r′,tr)∣r−r′∣ d3r′=q4πϵ0∫δ3(r′−w(tr))∣r−r′∣ d3r′V(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}',t_r)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r' = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\delta^3(\mathbf{r}'-\mathbf{w}(t_r))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'

핵심 난점: 지연 시각의 위치 의존성

tr=t−∣r−r′∣/ct_r = t - |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/c가 r′\mathbf{r}'에 의존하므로, 델타 함수의 인자 w(tr)\mathbf{w}(t_r)도 r′\mathbf{r}'에 의존한다. 이것이 단순한 적분이 되지 않는 이유이다.

단계 1: 변수 변환

적분을 수행하기 위해 δ\delta 함수의 성질을 이용한다. r′\mathbf{r}'에 대한 적분에서, δ3(r′−w(tr))\delta^3(\mathbf{r}'-\mathbf{w}(t_r))는 r′=w(tr)\mathbf{r}' = \mathbf{w}(t_r)일 때만 기여한다. 그러나 trt_r 자체가 r′\mathbf{r}'에 의존하므로, 이를 올바르게 처리해야 한다.

trt_r의 조건을 명시적으로 쓰면:

c(t−tr)=∣r−w(tr)∣c(t - t_r) = |\mathbf{r} - \mathbf{w}(t_r)|

이 조건이 지연 시각 trt_r을 유일하게 결정한다.

단계 2: 야코비안 계산

시공간의 관점에서, 적분 변수를 (r′,t′)(\mathbf{r}', t')로 확장하고 δ(t′−tr)δ3(r′−w(t′))\delta(t' - t_r)\delta^3(\mathbf{r}'-\mathbf{w}(t'))를 사용한다:

V=q4πϵ0∫∫δ3(r′−w(t′)) δ(t′−[t−∣r−r′∣/c])∣r−r′∣ d3r′ dt′V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int\int\frac{\delta^3(\mathbf{r}'-\mathbf{w}(t'))\,\delta(t' - [t - |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|/c])}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d^3r'\,dt'

r′\mathbf{r}' 적분을 먼저 수행하면 (r′=w(t′)\mathbf{r}' = \mathbf{w}(t')로 고정):

V=q4πϵ0∫δ(t′−t+∣r−w(t′)∣/c)∣r−w(t′)∣ dt′V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\delta(t' - t + |\mathbf{r}-\mathbf{w}(t')|/c)}{|\mathbf{r}-\mathbf{w}(t')|}\,dt'

g(t′)=t′−t+∣r−w(t′)∣/cg(t') = t' - t + |\mathbf{r}-\mathbf{w}(t')|/c로 놓으면, δ(g(t′))\delta(g(t'))의 적분에서:

∫δ(g(t′))∣r−w(t′)∣ dt′=1∣r−w(tr)∣⋅∣g′(tr)∣\int\frac{\delta(g(t'))}{|\mathbf{r}-\mathbf{w}(t')|}\,dt' = \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{w}(t_r)|\cdot|g'(t_r)|}

단계 3: g′(tr)g'(t_r) 계산

g′(t′)=1+1cddt′∣r−w(t′)∣=1−r^⋅v(t′)cg'(t') = 1 + \frac{1}{c}\frac{d}{dt'}|\mathbf{r}-\mathbf{w}(t')| = 1 - \frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{v}(t')}{c}

여기서 r=r−w(t′)\boldsymbol{\mathscr{r}} = \mathbf{r} - \mathbf{w}(t')이고 r^=r/r\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} = \boldsymbol{\mathscr{r}}/\mathscr{r}.

t′=trt' = t_r에서 평가하면:

g′(tr)=1−r^⋅vc∣trg'(t_r) = 1 - \frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{v}}{c}\bigg|_{t_r}

결과: 리나르-비헤르트 퍼텐셜

V(r,t)=q4πϵ01r(1−r^⋅v/c)∣tr\boxed{V(\mathbf{r},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\mathscr{r}(1-\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{v}/c)}\bigg|_{t_r}}A(r,t)=μ0q4πvr(1−r^⋅v/c)∣tr\boxed{\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0 q}{4\pi}\frac{\mathbf{v}}{\mathscr{r}(1-\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{v}/c)}\bigg|_{t_r}}

여기서 모든 양(r\mathscr{r}, r^\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}, v\mathbf{v})은 지연 시각 trt_r에서 평가한다.

간결한 표기: A=vc2V\mathbf{A} = \frac{\mathbf{v}}{c^2}V

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3. 인자 (1−r^⋅v/c)(1 - \hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{v}/c)의 물리적 의미

참고도플러 인자

분모에 나타나는 인자 κ=1−r^⋅v/c\kappa = 1 - \hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{v}/c는 도플러 인자와 관련된다.

  • 전하가 관측자를 향해 다가올 때 (r^⋅v>0\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{v} > 0): κ<1\kappa < 1 → 퍼텐셜 증가
  • 전하가 관측자에서 멀어질 때 (r^⋅v<0\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{v} < 0): κ>1\kappa > 1 → 퍼텐셜 감소

물리적 해석: 전하가 다가오면 연속적인 시각에 방출된 신호가 관측점에 "쌓여서" 도달하므로 퍼텐셜이 증폭된다. 이는 음파의 도플러 효과와 동일한 메커니즘이다.

v→cv \to c이고 전하가 관측자를 향해 올 때 κ→0\kappa \to 0이 되어 퍼텐셜이 발산한다. 이것이 체렌코프 복사(Cerenkov radiation)나 소닉 붐의 전자기적 대응물과 관련된다.

4. 리나르-비헤르트 퍼텐셜에서 전자기장

유도운동하는 점전하의 전자기장

E=−∇V−∂A/∂t\mathbf{E} = -\nabla V - \partial\mathbf{A}/\partial t와 B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}를 리나르-비헤르트 퍼텐셜에 적용한다. 지연 시각의 미분이 필요하므로 계산이 상당히 복잡하다.

결과 (헤비사이드-파인먼 공식):

E(r,t)=q4πϵ0r(r⋅u)3[c2(u−ra)+r×(u×a)]tr\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathscr{r}}{(\boldsymbol{\mathscr{r}}\cdot\mathbf{u})^3}\left[c^2(\mathbf{u} - \mathscr{r}\mathbf{a}) + \boldsymbol{\mathscr{r}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})\right]_{t_r}

여기서 u=cr^−v\mathbf{u} = c\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} - \mathbf{v}.

B=1cr^×E∣tr\mathbf{B} = \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\mathbf{E}\bigg|_{t_r}

두 항의 물리적 의미:

첫째 항 (∝c2u\propto c^2\mathbf{u}, 가속도 무관): 속도장(velocity field) 또는 일반화된 쿨롱장

  • ∝1/r2\propto 1/\mathscr{r}^2 — 복사에 기여하지 않음
  • a=0\mathbf{a} = 0이면 등속 운동 전하의 쿨롱장으로 환원

둘째 항 (∝r×(u×a)\propto \boldsymbol{\mathscr{r}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a}), 가속도에 의존): 가속도장(acceleration field) 또는 복사장

  • ∝1/r\propto 1/\mathscr{r} — 원거리에서 지배적, 에너지를 무한히 멀리 운반
  • 이 항만이 전자기파 복사에 기여
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5. 검증: 특수한 극한

예제비상대론적 극한에서의 라모 공식 재유도

v≪cv \ll c인 극한에서 복사장(1/r1/\mathscr{r} 항)만 취하면:

Erad≈q4πϵ0c2r^×(r^×a)r∣tr\mathbf{E}_{\text{rad}} \approx \frac{q}{4\pi\epsilon_0 c^2}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times(\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\mathbf{a})}{\mathscr{r}}\bigg|_{t_r}

이중 외적: r^×(r^×a)=(r^⋅a)r^−a\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times(\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\mathbf{a}) = (\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\mathbf{a})\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} - \mathbf{a}

크기: ∣Erad∣=qasin⁡Θ4πϵ0c2r|E_{\text{rad}}| = \frac{qa\sin\Theta}{4\pi\epsilon_0 c^2 \mathscr{r}}

포인팅 벡터의 rr 성분:

Sr=q2a2sin⁡2Θ16π2ϵ0c3r2S_r = \frac{q^2 a^2\sin^2\Theta}{16\pi^2\epsilon_0 c^3 \mathscr{r}^2}

전체 입체각에 대해 적분:

P=∮Sr r2 dΩ=q2a26πϵ0c3=μ0q2a26πcP = \oint S_r\,\mathscr{r}^2\,d\Omega = \frac{q^2 a^2}{6\pi\epsilon_0 c^3} = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c}

이것이 바로 라모 공식이다. 리나르-비헤르트 퍼텐셜이 라모 공식의 일반적 근거를 제공함을 확인할 수 있다.

참고리나르-비헤르트 퍼텐셜의 의의

리나르-비헤르트 퍼텐셜은 고전 전자기학에서 운동하는 점전하에 대한 정확한 해이다. 이로부터:

  1. 등속 운동: 쿨롱-로런츠 변환된 장
  2. 비상대론적 가속: 라모 공식
  3. 상대론적 가속: 리나르 공식, 싱크로트론 복사
  4. 급정지/급출발: 전이 복사(transition radiation)

등 모든 복사 현상을 일관되게 유도할 수 있다. 이 퍼텐셜은 또한 고전적 양자전기역학의 섭동 전개에서 전파자(propagator)와 직접적으로 대응된다.

그러나 점전하의 자기 에너지 발산(자기 에너지 ∝∫E2d3r\propto \int E^2 d^3r이 r→0r \to 0에서 발산)과 복사 반작용 문제는 고전 전자기학의 근본적 한계를 보여주며, 이는 양자론에서만 완전히 해소된다.