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물리학 강의 노트

법칙완성

라모 공식 (Larmor Formula)

1. 비상대론적 라모 공식

법칙7.1라모 공식

가속도 a\mathbf{a}로 운동하는 전하 qq가 복사하는 총 전력 (비상대론적, v≪cv \ll c):

P=μ0q2a26πc=q2a26πϵ0c3P = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c} = \frac{q^2 a^2}{6\pi\epsilon_0 c^3}

이것이 라모 공식(Larmor formula)이다. 핵심 특징:

  • 복사 전력은 가속도의 제곱에 비례한다
  • 전하량의 제곱에 비례한다
  • 등속 운동하는 전하(a=0a = 0)는 복사하지 않는다
  • 복사 전력은 항상 양이다 — 가속하는 전하는 에너지를 잃는다
유도라모 공식의 유도

점전하 qq가 zz축 위에서 비상대론적으로 가속될 때, 쌍극자 근사를 사용한다.

위치 w(t)\mathbf{w}(t)에 있는 전하의 쌍극자 모멘트: p(t)=qw(t)\mathbf{p}(t) = q\mathbf{w}(t)

쌍극자 복사 전력 공식:

P=μ06πc∣p¨∣2=μ06πc∣qw¨∣2=μ0q26πc∣a∣2P = \frac{\mu_0}{6\pi c}|\ddot{\mathbf{p}}|^2 = \frac{\mu_0}{6\pi c}|q\ddot{\mathbf{w}}|^2 = \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}|\mathbf{a}|^2

여기서 a=w¨\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{w}}는 전하의 가속도이다.

복사의 각도 분포:

dPdΩ=μ0q2a216π2csin⁡2Θ\frac{dP}{d\Omega} = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{16\pi^2 c}\sin^2\Theta

여기서 Θ\Theta는 가속도 방향과 관측 방향 사이의 각도이다. sin⁡2Θ\sin^2\Theta를 전체 입체각에 대해 적분하면:

∫sin⁡2Θ dΩ=∫02π∫0πsin⁡2Θsin⁡Θ dΘ dϕ=2π⋅43=8π3\int\sin^2\Theta\,d\Omega = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin^2\Theta\sin\Theta\,d\Theta\,d\phi = 2\pi\cdot\frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}P=μ0q2a216π2c⋅8π3=μ0q2a26πcP = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{16\pi^2 c}\cdot\frac{8\pi}{3} = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c}
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2. 상대론적 일반화

법칙7.2상대론적 라모 공식 (리나르 공식)

임의의 속도(상대론적 포함)로 운동하는 전하의 복사 전력 — 리나르 공식(Lienard formula):

P=μ0q26πcγ6[a2−∣v×a∣2c2]P = \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\gamma^6\left[a^2 - \frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|^2}{c^2}\right]

여기서 γ=(1−v2/c2)−1/2\gamma = (1-v^2/c^2)^{-1/2}이다.

공변적 형태:

P=−μ0q26πm2cdpμdτdpμdτP = -\frac{\mu_0 q^2}{6\pi m^2 c}\frac{dp_\mu}{d\tau}\frac{dp^\mu}{d\tau}

여기서 pμp^\mu는 4-운동량, τ\tau는 고유 시간이다.

두 가지 중요한 특수 경우:

속도에 평행한 가속 (v∥a\mathbf{v} \parallel \mathbf{a}, 선형 가속기):

P=μ0q2a2γ66πcP = \frac{\mu_0 q^2 a^2 \gamma^6}{6\pi c}

속도에 수직인 가속 (v⊥a\mathbf{v} \perp \mathbf{a}, 원형 가속기):

P=μ0q2a2γ46πcP = \frac{\mu_0 q^2 a^2 \gamma^4}{6\pi c}
참고선형 vs 원형 가속기의 복사 손실

같은 에너지 변화율에 대해, 원형 가속기에서의 복사 손실이 선형 가속기보다 훨씬 크다:

원형 가속기에서 a=v2/R≈c2/Ra = v^2/R \approx c^2/R이므로:

Pcircular=μ0q2c3γ46πR2P_{\text{circular}} = \frac{\mu_0 q^2 c^3 \gamma^4}{6\pi R^2}

한 바퀴 동안 잃는 에너지:

ΔE=2πRcP=μ0q2c2γ43R=q23ϵ0γ4R\Delta E = \frac{2\pi R}{c}P = \frac{\mu_0 q^2 c^2 \gamma^4}{3R} = \frac{q^2}{3\epsilon_0}\frac{\gamma^4}{R}

이를 입자의 에너지 E=γmc2E = \gamma mc^2로 쓰면:

ΔE=q23ϵ0R(Emc2)4\Delta E = \frac{q^2}{3\epsilon_0 R}\left(\frac{E}{mc^2}\right)^4

m−4m^{-4}에 비례하므로, 같은 에너지에서 전자(mem_e)의 복사 손실은 양성자(mpm_p)보다 (mp/me)4≈1013(m_p/m_e)^4 \approx 10^{13}배 크다! 이것이 CERN의 LEP(전자-양전자 충돌기)가 LHC(양성자 충돌기)로 대체된 주된 이유이다.

3. 응용

예제싱크로트론 복사

상대론적 전자(γ≫1\gamma \gg 1)가 자기장 속에서 원운동할 때 방출하는 싱크로트론 복사(synchrotron radiation)의 특성:

  1. 고도로 방향성: 비상대론적 경우의 sin⁡2θ\sin^2\theta 패턴과 달리, 복사가 운동 방향으로 ∼1/γ\sim 1/\gamma 각도의 좁은 원뿔에 집중된다.

  2. 넓은 스펙트럼: 좁은 펄스 형태의 복사 패턴으로 인해, 주파수 스펙트럼이 사이클로트론 진동수의 γ3\gamma^3배까지 확장된다. 임계 진동수: ωc≈γ3ωcyclotron\omega_c \approx \gamma^3\omega_{\text{cyclotron}}.

  3. 편광: 궤도면 내에서는 선편광, 궤도면 밖에서는 타원편광.

싱크로트론 복사는 현대 실험 물리학에서 고휘도 X선 광원으로 널리 활용된다.

예제제동 복사 (Bremsstrahlung)

전하가 다른 전하에 의해 감속(또는 편향)될 때 방출하는 복사를 제동 복사(Bremsstrahlung)라 한다.

비상대론적 경우, 전하 qq가 핵(ZeZe) 근처를 충돌 매개변수 bb로 지나갈 때:

a∼Zqe4πϵ0mb2a \sim \frac{Zq e}{4\pi\epsilon_0 m b^2}

이 가속이 Δt∼b/v\Delta t \sim b/v 동안 지속되므로, 복사되는 에너지:

ΔE∼PΔt∼q2a26πϵ0c3bv∝Z2q4m2b3v\Delta E \sim P\Delta t \sim \frac{q^2 a^2}{6\pi\epsilon_0 c^3}\frac{b}{v} \propto \frac{Z^2 q^4}{m^2 b^3 v}

X선 튜브, 핵융합 플라즈마 등에서 중요하다.

참고복사 반작용과 에이브러햄-로런츠 방정식

가속하는 전하가 에너지를 복사하므로, 이에 대한 반작용력(radiation reaction force)이 전하에 작용해야 한다. 이를 포함한 운동 방정식이 에이브러햄-로런츠 방정식(Abraham-Lorentz equation):

Frad=μ0q26πca˙\mathbf{F}_{\text{rad}} = \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\dot{\mathbf{a}}

이 방정식은 3차 미분 방정식으로 인해 폭주해(runaway solution)와 사전 가속(preacceleration) 같은 비물리적 해를 허용하는 심각한 문제가 있다. 이 문제의 완전한 해결은 양자전기역학(QED)에서야 이루어진다. 고전 전자기학의 한계를 보여주는 중요한 사례이다.