다양체 (Manifold)

1. 위상공간과 다양체의 정의

일반상대론에서 시공간은 **매끄러운 다양체(smooth manifold)**로 기술된다. 다양체란 국소적으로 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 과 동형인 위상공간이다.

정의1.1위상 다양체

$n$ 차원 위상 다양체(topological manifold) $M$ 은 다음 조건을 만족하는 하우스도르프(Hausdorff), 제2가산(second-countable) 위상공간이다:

$M$ 의 모든 점 $p \in M$ 에 대해, $p$ 를 포함하는 열린 집합 $U \subset M$ 과 $\mathbb{R}^n$ 의 열린 집합 $V$ 에 대한 동상사상(homeomorphism) $\varphi : U \to V$ 가 존재한다.

순서쌍 $(U, \varphi)$ 를 **좌표 근방(coordinate chart)**이라 하며, $\varphi(p) = (x^1, x^2, \ldots, x^n)$ 을 점 $p$ 의 **국소 좌표(local coordinates)**라 한다.

2. 좌표계와 아틀라스

하나의 좌표 근방으로 다양체 전체를 덮을 수 없는 경우가 일반적이므로, 여러 좌표 근방의 모음이 필요하다.

정의1.2아틀라스

다양체 $M$ 위의 아틀라스(atlas) $\mathcal{A} = \{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ 는 다음을 만족하는 좌표 근방들의 모음이다:

$\bigcup_\alpha U_\alpha = M$ (다양체 전체를 덮는다)
두 좌표 근방 $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ 와 $(U_\beta, \varphi_\beta)$ 에 대해 $U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset$ 이면, 전이 함수(transition function)

\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1} : \varphi_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to \varphi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)

가 $C^\infty$ 매끄러운 사상이다.

참고매끄러운 구조

아틀라스가 **극대(maximal)**인 경우, 즉 호환되는 모든 좌표 근방을 포함하는 경우, 이를 **매끄러운 구조(smooth structure)**라 한다. 매끄러운 구조가 부여된 다양체를 **매끄러운 다양체(smooth manifold)**라 한다.

3. 접선공간과 접선벡터

다양체 위의 각 점에서 접선공간을 정의하는 것은 미분기하학의 핵심이다.

정의1.3접선벡터

점 $p \in M$ 에서의 접선벡터(tangent vector) $v$ 는 $p$ 에서 정의된 매끄러운 함수들의 공간 $C^\infty(M)$ 위의 **방향 도함수(directional derivative)**로 정의된다. 즉, $v : C^\infty(M) \to \mathbb{R}$ 이며 다음을 만족한다:

선형성: $v(af + bg) = a \, v(f) + b \, v(g)$ , $\quad a, b \in \mathbb{R}$
라이프니츠 규칙: $v(fg) = f(p) \, v(g) + g(p) \, v(f)$

점 $p$ 에서의 모든 접선벡터의 집합을 접선공간(tangent space) $T_pM$ 이라 하며, 이는 $n$ 차원 벡터공간이다.

국소 좌표 $(x^1, \ldots, x^n)$ 에서 접선공간의 기저는

\left\{ \frac{\partial}{\partial x^1}\bigg|_p, \frac{\partial}{\partial x^2}\bigg|_p, \ldots, \frac{\partial}{\partial x^n}\bigg|_p \right\}

로 주어진다. 임의의 접선벡터는 $v = v^\mu \, \partial_\mu$ 로 전개된다.

4. 여접공간과 미분형식

정의1.4여접공간

접선공간 $T_pM$ 의 쌍대공간(dual space) $T_p^*M$ 을 **여접공간(cotangent space)**이라 한다. 여접공간의 원소를 여접벡터(cotangent vector) 또는 **1-형식(1-form)**이라 한다.

국소 좌표에서 여접공간의 기저는 $\{dx^1, dx^2, \ldots, dx^n\}$ 이며, 쌍대 관계

dx^\mu\left(\frac{\partial}{\partial x^\nu}\right) = \delta^\mu_{\ \nu}

를 만족한다.

5. 접선다발과 벡터장

정의1.5접선다발

다양체 $M$ 위의 **접선다발(tangent bundle)**은

TM = \bigsqcup_{p \in M} T_pM = \{(p, v) \mid p \in M, \, v \in T_pM\}

으로 정의되며, 이는 $2n$ 차원 매끄러운 다양체이다. 벡터장(vector field) $X$ 는 매끄러운 단면(section) $X : M \to TM$ 이다.

예제구면 위의 다양체 구조

2차원 구면 $S^2$ 는 대표적인 다양체의 예이다. $S^2$ 를 하나의 좌표 근방으로 덮을 수 없으므로, 최소 두 개의 좌표 근방이 필요하다. 입체사영(stereographic projection)을 이용하면:

북극 좌표: $\varphi_N : S^2 \setminus \{N\} \to \mathbb{R}^2$
남극 좌표: $\varphi_S : S^2 \setminus \{S\} \to \mathbb{R}^2$

전이 함수 $\varphi_S \circ \varphi_N^{-1}$ 는 $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ 위에서

(u, v) \mapsto \frac{(u, v)}{u^2 + v^2}

로 주어지며, 이는 매끄러운 함수이므로 $S^2$ 는 매끄러운 다양체이다.

6. 일반상대론에서의 시공간 다양체

일반상대론에서 시공간은 4차원 매끄러운 다양체 $(\mathcal{M}, g)$ 로 모형화된다.

참고시공간 다양체의 조건

물리적으로 의미 있는 시공간 다양체는 다음 조건을 만족해야 한다:

파라컴팩트(paracompact): 단위 분해(partition of unity)의 존재를 보장
연결(connected): 시공간이 하나로 이어져 있음
로렌츠 계량(Lorentzian metric): 부호수(signature) $(-,+,+,+)$ 인 계량 텐서 $g_{\mu\nu}$ 가 존재
시간 방향 지정 가능(time-orientable): 미래와 과거의 구분이 전역적으로 가능

이러한 조건들은 인과율(causality)과 물리 법칙의 정합성을 보장하는 데 필수적이다.