텐서 (Tensor)

1. 텐서의 정의

텐서는 좌표 변환에 대해 특정 규칙으로 변환되는 다중선형 사상이다. 일반상대론에서 물리 법칙을 좌표계에 무관하게 기술하기 위한 핵심 도구이다.

정의2.1(r,s)-형 텐서

다양체 $M$ 위의 점 $p$ 에서 **(r,s)-형 텐서(type-(r,s) tensor)**는 다중선형 사상

T : \underbrace{T_p^*M \times \cdots \times T_p^*M}_{r} \times \underbrace{T_pM \times \cdots \times T_pM}_{s} \to \mathbb{R}

이다. 여기서 $r$ 은 반변(contravariant) 차수, $s$ 는 공변(covariant) 차수이다.

국소 좌표에서 성분 표현은

T = T^{\mu_1 \cdots \mu_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \nu_1 \cdots \nu_s} \, \frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}} \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}} \otimes dx^{\nu_1} \otimes \cdots \otimes dx^{\nu_s}

이다.

2. 좌표 변환 법칙

텐서의 핵심적 성질은 좌표 변환에 따른 변환 규칙이다. 좌표 $x^\mu$ 에서 $x^{\mu'}$ 로의 변환에서, $(r,s)$ -형 텐서의 성분은 다음과 같이 변환된다:

T^{\mu_1' \cdots \mu_r'}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nu_1' \cdots \nu_s'} = \frac{\partial x^{\mu_1'}}{\partial x^{\mu_1}} \cdots \frac{\partial x^{\mu_r'}}{\partial x^{\mu_r}} \frac{\partial x^{\nu_1}}{\partial x^{\nu_1'}} \cdots \frac{\partial x^{\nu_s}}{\partial x^{\nu_s'}} T^{\mu_1 \cdots \mu_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \nu_1 \cdots \nu_s}

참고텐서 판별법

어떤 양이 텐서인지 판별하는 실용적 방법은, 모든 좌표계에서 위의 변환 법칙을 따르는지 확인하는 것이다. 만약 한 좌표계에서 $T^{\mu\nu} = 0$ 이고 이것이 텐서라면, 모든 좌표계에서 $T^{\mu'\nu'} = 0$ 이다. 이 성질이 물리 법칙을 텐서 등식으로 표현하는 근본적 이유이다.

3. 계량 텐서

일반상대론에서 가장 중요한 텐서는 **계량 텐서(metric tensor)**이다.

정의2.2계량 텐서

계량 텐서(metric tensor) $g$ 는 (0,2)-형 대칭 비퇴화 텐서장이다:

g = g_{\mu\nu} \, dx^\mu \otimes dx^\nu

다음 성질을 만족한다:

대칭성: $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$
비퇴화: $\det(g_{\mu\nu}) \neq 0$
로렌츠 부호수: 시공간에서 부호수는 $(-,+,+,+)$

두 점 사이의 **선소(line element)**는

ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu \, dx^\nu

로 주어진다.

예제민코프스키 계량

특수상대론의 시공간인 민코프스키 공간 $(\mathbb{R}^4, \eta)$ 에서 계량 텐서는

\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1, +1, +1, +1)

이며, 선소는

ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

이다. 자연단위계( $c = 1$ )에서는 $ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ 이다.

4. 텐서 대수

텐서에 대한 기본적인 대수적 연산들을 정리한다.

정의2.3텐서 연산

$(r,s)$ -형 텐서 $T$ 와 $(p,q)$ -형 텐서 $S$ 에 대해 다음 연산이 정의된다:

텐서곱(tensor product): $(r+p, s+q)$ -형 텐서

(T \otimes S)^{\mu_1 \cdots \mu_r \alpha_1 \cdots \alpha_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nu_1 \cdots \nu_s \beta_1 \cdots \beta_q} = T^{\mu_1 \cdots \mu_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \nu_1 \cdots \nu_s} \, S^{\alpha_1 \cdots \alpha_p}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \beta_1 \cdots \beta_q}

축약(contraction): 하나의 반변 지표와 하나의 공변 지표를 동일 지표로 놓고 합산하여 $(r-1, s-1)$ -형 텐서를 얻는다:

T^{\mu_1 \cdots \mu_{r-1} \lambda}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nu_1 \cdots \nu_{s-1} \lambda}

지표 올리기/내리기: 계량 텐서를 이용하여

T^\mu = g^{\mu\nu} T_\nu, \qquad T_\mu = g_{\mu\nu} T^\nu

5. 특수 텐서들

정의2.4레비-치비타 기호와 텐서

레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol) $\tilde{\epsilon}_{\mu\nu\rho\sigma}$ 는 완전 반대칭이며 $\tilde{\epsilon}_{0123} = +1$ 이다.

**레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor)**는

\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} = \sqrt{-g} \, \tilde{\epsilon}_{\mu\nu\rho\sigma}

로 정의되며, 여기서 $g = \det(g_{\mu\nu})$ 이다. 이는 진정한 (0,4)-형 텐서이다.

크로네커 델타(Kronecker delta) $\delta^\mu_{\ \nu}$ 는 (1,1)-형 텐서이며

\delta^\mu_{\ \nu} = \begin{cases} 1 & \mu = \nu \\ 0 & \mu \neq \nu \end{cases}

이다.

6. 텐서장과 리 미분

정의2.5텐서장과 리 미분

**텐서장(tensor field)**은 다양체 위의 각 점에서 텐서를 매끄럽게 배정하는 사상이다. 벡터장 $X$ 에 대한 텐서장 $T$ 의 리 미분(Lie derivative) $\mathcal{L}_X T$ 는 $X$ 가 생성하는 흐름(flow)을 따른 $T$ 의 변화율을 측정한다.

(0,2)-형 텐서장에 대해

(\mathcal{L}_X T)_{\mu\nu} = X^\lambda \partial_\lambda T_{\mu\nu} + T_{\lambda\nu} \partial_\mu X^\lambda + T_{\mu\lambda} \partial_\nu X^\lambda

이다. 특히 계량 텐서에 대해 $\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu} = 0$ 을 만족하는 벡터장 $\xi$ 를 **킬링 벡터장(Killing vector field)**이라 하며, 이는 시공간의 대칭성을 기술한다.

참고아인슈타인 합 규약

일반상대론에서는 **아인슈타인 합 규약(Einstein summation convention)**을 사용한다: 한 항에서 같은 지표가 위와 아래에 한 번씩 나타나면 그 지표에 대해 합산한다.

A^\mu B_\mu \equiv \sum_{\mu=0}^{3} A^\mu B_\mu

이 규약은 표기를 간결하게 만들며, 이후 모든 표현에서 암묵적으로 사용된다.