공변 미분 (Covariant Derivative)

1. 편미분의 한계와 공변 미분의 필요성

평평한 공간에서의 편미분 $\partial_\mu V^\nu$ 는 텐서가 아니다. 좌표 변환 시

\partial_{\mu'} V^{\nu'} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^\nu} \partial_\mu V^\nu + \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial^2 x^{\nu'}}{\partial x^\mu \partial x^\nu} V^\nu

에서 두 번째 항이 비동차적(inhomogeneous)으로 나타나므로 텐서 변환 법칙을 만족하지 않는다. 이를 보정하기 위해 **공변 미분(covariant derivative)**을 도입한다.

정의3.1아핀 접속

다양체 $M$ 위의 아핀 접속(affine connection) $\nabla$ 는 벡터장 $X, Y$ 에 대해 벡터장 $\nabla_X Y$ 를 대응시키는 연산으로, 다음을 만족한다:

국소 좌표에서 접속은 접속 계수(connection coefficients) $\Gamma^\lambda_{\ \mu\nu}$ 로 표현된다:

\nabla_\mu e_\nu = \Gamma^\lambda_{\ \mu\nu} \, e_\lambda

정의3.2공변 미분

접속 $\nabla$ 에 의한 텐서장의 **공변 미분(covariant derivative)**은 다음과 같다:

벡터장 $V^\nu$ 에 대해:

\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\ \mu\lambda} V^\lambda

여벡터장(covector field) $\omega_\nu$ 에 대해:

\nabla_\mu \omega_\nu = \partial_\mu \omega_\nu - \Gamma^\lambda_{\ \mu\nu} \omega_\lambda

일반 $(r,s)$ -형 텐서장에 대해:

\nabla_\mu T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_1 \cdots \beta_s} = \partial_\mu T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_1 \cdots \beta_s} + \sum_{i=1}^{r} \Gamma^{\alpha_i}_{\ \mu\lambda} T^{\alpha_1 \cdots \lambda \cdots \alpha_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_1 \cdots \beta_s} - \sum_{j=1}^{s} \Gamma^\lambda_{\ \mu\beta_j} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}_{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta_1 \cdots \lambda \cdots \beta_s}

계량 텐서가 주어진 다양체에서는 자연스러운 접속이 유일하게 결정된다.

정의3.3레비-치비타 접속과 크리스토펠 기호

**레비-치비타 접속(Levi-Civita connection)**은 다음 두 조건을 동시에 만족하는 유일한 접속이다:

계량 호환성(metric compatibility): $\nabla_\lambda g_{\mu\nu} = 0$
비틀림 없음(torsion-free): $\Gamma^\lambda_{\ \mu\nu} = \Gamma^\lambda_{\ \nu\mu}$

이 접속의 계수를 **크리스토펠 기호(Christoffel symbols)**라 하며, 다음으로 주어진다:

\Gamma^\lambda_{\ \mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right)

유도크리스토펠 기호 유도

계량 호환성 $\nabla_\lambda g_{\mu\nu} = 0$ 을 전개하면:

\partial_\lambda g_{\mu\nu} - \Gamma^\sigma_{\ \lambda\mu} g_{\sigma\nu} - \Gamma^\sigma_{\ \lambda\nu} g_{\mu\sigma} = 0

지표를 순환적으로 치환하여 세 개의 등식을 얻는다:

\partial_\lambda g_{\mu\nu} = \Gamma^\sigma_{\ \lambda\mu} g_{\sigma\nu} + \Gamma^\sigma_{\ \lambda\nu} g_{\mu\sigma}

\partial_\mu g_{\nu\lambda} = \Gamma^\sigma_{\ \mu\nu} g_{\sigma\lambda} + \Gamma^\sigma_{\ \mu\lambda} g_{\nu\sigma}

\partial_\nu g_{\lambda\mu} = \Gamma^\sigma_{\ \nu\lambda} g_{\sigma\mu} + \Gamma^\sigma_{\ \nu\mu} g_{\lambda\sigma}

두 번째와 세 번째 등식을 더하고 첫 번째를 빼면, 비틀림 없음 조건 $\Gamma^\sigma_{\ \mu\nu} = \Gamma^\sigma_{\ \nu\mu}$ 를 사용하여

2 g_{\sigma\lambda} \Gamma^\sigma_{\ \mu\nu} = \partial_\mu g_{\nu\lambda} + \partial_\nu g_{\lambda\mu} - \partial_\lambda g_{\mu\nu}

$g^{\lambda\rho}$ 를 곱하면

\Gamma^\rho_{\ \mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\lambda} \left( \partial_\mu g_{\nu\lambda} + \partial_\nu g_{\mu\lambda} - \partial_\lambda g_{\mu\nu} \right)

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정의3.4평행 이동

곡선 $x^\mu(\lambda)$ 를 따른 벡터장 $V^\mu$ 의 **평행 이동(parallel transport)**은

\frac{D V^\mu}{d\lambda} \equiv \frac{dx^\nu}{d\lambda} \nabla_\nu V^\mu = \frac{dV^\mu}{d\lambda} + \Gamma^\mu_{\ \nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\lambda} V^\sigma = 0

을 만족하는 것이다. 평행 이동은 휘어진 공간에서 서로 다른 점의 벡터를 비교하는 방법을 제공한다.

참고경로 의존성

평평한 공간과 달리, 휘어진 공간에서의 평행 이동은 경로에 의존한다. 벡터를 폐곡선을 따라 평행 이동시키면 원래 벡터와 달라질 수 있으며, 이 차이가 바로 **곡률(curvature)**을 정량화한다. 이것이 **홀로노미(holonomy)**의 개념이다.

정의3.5비틀림 텐서

접속의 **비틀림 텐서(torsion tensor)**는

T^\lambda_{\ \mu\nu} = \Gamma^\lambda_{\ \mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\ \nu\mu}

로 정의된다. 레비-치비타 접속에서는 $T^\lambda_{\ \mu\nu} = 0$ 이다.

**비계량성 텐서(non-metricity tensor)**는

Q_{\lambda\mu\nu} = \nabla_\lambda g_{\mu\nu}

로 정의되며, 레비-치비타 접속에서는 $Q_{\lambda\mu\nu} = 0$ 이다.

예제구면 좌표에서의 크리스토펠 기호

2차원 구면 $S^2$ 의 계량은 $ds^2 = r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)$ 이다. 반지름 $r = 1$ 인 경우, 영이 아닌 크리스토펠 기호는:

\Gamma^\theta_{\ \phi\phi} = -\sin\theta \cos\theta, \qquad \Gamma^\phi_{\ \theta\phi} = \Gamma^\phi_{\ \phi\theta} = \cot\theta

이로부터 구면 위에서 벡터를 평행 이동하면 경로에 따라 결과가 달라짐을 확인할 수 있다.