측지선 (Geodesic)

1. 측지선의 정의

유클리드 기하학에서 두 점 사이의 최단 거리 경로는 직선이다. 휘어진 공간에서 이에 대응하는 것이 **측지선(geodesic)**이다.

정의4.1측지선

다양체 $(M, g)$ 위의 곡선 $x^\mu(\lambda)$ 가 **측지선(geodesic)**이란, 곡선의 접선벡터 $u^\mu = dx^\mu/d\lambda$ 가 곡선을 따라 평행 이동되는 것을 의미한다:

\frac{D u^\mu}{d\lambda} = u^\nu \nabla_\nu u^\mu = 0

이를 전개하면 **측지선 방정식(geodesic equation)**을 얻는다:

\frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\ \nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\sigma}{d\lambda} = 0

여기서 $\lambda$ 는 **아핀 매개변수(affine parameter)**이다.

2. 변분 원리에 의한 유도

측지선은 변분 원리로부터도 유도할 수 있다.

유도작용으로부터의 측지선 방정식

두 점 $A$ 와 $B$ 사이의 곡선 길이 범함수를 고려하자:

S[x] = \int_A^B ds = \int_A^B \sqrt{\left| g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \right|} \, d\lambda

계산의 편의를 위해 제곱 형태의 작용을 사용한다:

\tilde{S}[x] = \frac{1}{2} \int g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \, d\lambda

오일러-라그랑주 방정식을 적용하면:

\frac{d}{d\lambda} \left( g_{\mu\sigma} \frac{dx^\sigma}{d\lambda} \right) - \frac{1}{2} \partial_\mu g_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\sigma}{d\lambda} = 0

첫 번째 항을 전개하면:

g_{\mu\sigma} \frac{d^2 x^\sigma}{d\lambda^2} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\sigma}{d\lambda} - \frac{1}{2} \partial_\mu g_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\sigma}{d\lambda} = 0

$g^{\rho\mu}$ 를 곱하고 크리스토펠 기호의 정의를 사용하면:

\frac{d^2 x^\rho}{d\lambda^2} + \Gamma^\rho_{\ \nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\sigma}{d\lambda} = 0

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3. 시간꼴, 공간꼴, 영 측지선

일반상대론에서 측지선은 접선벡터의 성격에 따라 분류된다.

정의4.2측지선의 분류

접선벡터 $u^\mu = dx^\mu/d\lambda$ 에 대해 $g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu$ 의 부호에 따라:

시간꼴(timelike): $g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu < 0$ -- 질량이 있는 입자의 세계선
영(null, lightlike): $g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 0$ -- 빛의 경로(광선)
공간꼴(spacelike): $g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu > 0$ -- 물리적 입자가 따를 수 없는 경로

시간꼴 측지선에서 아핀 매개변수를 고유시간(proper time) $\tau$ 로 택하면:

g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = -c^2

(자연단위계에서 $-1$ )

4. 측지선 편차 방정식

인접한 두 측지선 사이의 상대적 가속도는 시공간의 곡률을 직접적으로 반영한다.

정의4.3측지선 편차 방정식

측지선 편차 방정식(geodesic deviation equation) 또는 **야코비 방정식(Jacobi equation)**은 인접 측지선 사이의 분리 벡터 $\xi^\mu$ 의 가속도를 기술한다:

\frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = -R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu u^\rho \xi^\sigma

여기서 $u^\mu$ 는 기준 측지선의 접선벡터이고, $R^\mu_{\ \nu\rho\sigma}$ 는 리만 곡률 텐서이다. 이 방정식은 **조석력(tidal force)**의 일반상대론적 표현이다.

참고등가 원리와 측지선 편차

등가 원리에 의해 한 점에서 중력을 제거할 수 있지만(국소 관성계), 측지선 편차는 국소적으로 제거할 수 없다. 이는 진정한 중력(곡률)과 가속도에 의한 겉보기 중력을 구별하는 핵심이다.

5. 보존량과 킬링 벡터

정의4.4측지선의 보존량

시공간이 킬링 벡터장 $\xi^\mu$ 를 가지면, 측지선을 따라 다음 양이 보존된다:

\mathcal{Q} = g_{\mu\nu} \xi^\mu u^\nu = \text{const}

이를 증명하면:

\frac{d\mathcal{Q}}{d\tau} = u^\lambda \nabla_\lambda (g_{\mu\nu} \xi^\mu u^\nu) = \frac{1}{2} (\nabla_\mu \xi_\nu + \nabla_\nu \xi_\mu) u^\mu u^\nu = 0

마지막 등호는 킬링 방정식 $\nabla_{(\mu} \xi_{\nu)} = 0$ 에 의한 것이다.

예제슈바르츠실트 시공간에서의 보존량

슈바르츠실트 계량은 시간 병진 킬링 벡터 $\xi^\mu_{(t)} = (1, 0, 0, 0)$ 과 축대칭 킬링 벡터 $\xi^\mu_{(\phi)} = (0, 0, 0, 1)$ 을 가진다.

이에 대응하는 보존량은:

에너지: $E = -g_{\mu\nu} \xi^\mu_{(t)} u^\nu = \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) \frac{dt}{d\tau}$
각운동량: $L = g_{\mu\nu} \xi^\mu_{(\phi)} u^\nu = r^2 \sin^2\theta \frac{d\phi}{d\tau}$

이 보존량들은 슈바르츠실트 시공간에서의 입자 운동을 분석하는 데 핵심적 역할을 한다.

6. 측지선과 자유 낙하

참고자유 낙하의 기하학적 의미

일반상대론에서 중력은 힘이 아니라 시공간의 기하학이다. 자유 낙하하는 물체는 외력을 받지 않으며, 시공간의 측지선을 따라 움직인다. 뉴턴 역학의 운동 방정식 $\ddot{x}^i = -\partial^i \Phi$ 에서, 측지선 방정식의 크리스토펠 기호 $\Gamma^\mu_{\ \nu\sigma}$ 가 중력 "가속도"의 역할을 대체한다.

약한 중력장, 느린 운동의 극한에서 측지선 방정식은 뉴턴의 운동 방정식으로 환원된다:

\frac{d^2 x^i}{dt^2} \approx -\Gamma^i_{\ 00} \approx -\frac{1}{2} \partial_i g_{00} \approx -\partial_i \Phi

여기서 $g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)$ 이고 $\Phi$ 는 뉴턴 중력 퍼텐셜이다.