리만 곡률 텐서 (Riemann Curvature Tensor)

1. 곡률의 기하학적 의미

공간의 곡률은 평행 이동의 경로 의존성, 측지선 편차, 그리고 공변 미분의 비가환성으로 나타난다. 이 모든 것을 하나의 텐서로 통합한 것이 리만 곡률 텐서이다.

정의5.1리만 곡률 텐서

리만 곡률 텐서(Riemann curvature tensor) $R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}$ 는 공변 미분의 교환자(commutator)를 통해 정의된다. 임의의 벡터장 $V^\rho$ 에 대해:

[\nabla_\mu, \nabla_\nu] V^\rho \equiv \nabla_\mu \nabla_\nu V^\rho - \nabla_\nu \nabla_\mu V^\rho = R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} V^\sigma

비틀림이 없는 접속에서, 성분 표현은:

R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\ \nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\ \mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\ \mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\ \nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\ \nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\ \mu\sigma}

이는 $(1,3)$ -형 텐서이며, $n$ 차원에서 $n^4$ 개의 성분을 가진다.

정의5.2리만 텐서의 대칭성

완전 공변 형태 $R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho\lambda} R^\lambda_{\ \sigma\mu\nu}$ 는 다음 대칭성을 만족한다:

R_{\rho\sigma\mu\nu} = -R_{\sigma\rho\mu\nu} = -R_{\rho\sigma\nu\mu}

R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\mu\nu\rho\sigma}

R_{\rho\sigma\mu\nu} + R_{\rho\mu\nu\sigma} + R_{\rho\nu\sigma\mu} = 0

이 대칭성들에 의해 4차원에서 독립적인 성분의 수는 $256$ 개에서 $20$ 개로 줄어든다.

리만 텐서의 축약으로부터 중요한 곡률 텐서들이 얻어진다.

정의5.3리치 텐서와 리치 스칼라

**리치 텐서(Ricci tensor)**는 리만 텐서의 첫 번째와 세 번째 지표의 축약이다:

R_{\mu\nu} = R^\lambda_{\ \mu\lambda\nu} = \partial_\lambda \Gamma^\lambda_{\ \nu\mu} - \partial_\nu \Gamma^\lambda_{\ \lambda\mu} + \Gamma^\lambda_{\ \lambda\sigma} \Gamma^\sigma_{\ \nu\mu} - \Gamma^\lambda_{\ \nu\sigma} \Gamma^\sigma_{\ \lambda\mu}

리치 텐서는 대칭이다: $R_{\mu\nu} = R_{\nu\mu}$ .

리치 스칼라(Ricci scalar) 또는 **스칼라 곡률(scalar curvature)**은 리치 텐서의 축약이다:

R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}

정의5.4바일 텐서

바일 텐서(Weyl tensor) $C_{\rho\sigma\mu\nu}$ 는 리만 텐서에서 리치 텐서와 리치 스칼라에 의한 기여를 제거한 부분으로, 무흔적(traceless) 곡률을 나타낸다:

C_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\rho\sigma\mu\nu} - \frac{2}{n-2}\left(g_{\rho[\mu} R_{\nu]\sigma} - g_{\sigma[\mu} R_{\nu]\rho}\right) + \frac{2}{(n-1)(n-2)} R \, g_{\rho[\mu} g_{\nu]\sigma}

4차원에서 바일 텐서는 10개의 독립 성분을 가지며, 리치 텐서 역시 10개의 독립 성분을 가진다 ( $10 + 10 = 20$ ).

바일 텐서는 **조석력(tidal force)**의 진공 기여분을 나타내며, 등각 변환(conformal transformation) $g_{\mu\nu} \to \Omega^2 g_{\mu\nu}$ 에 대해 불변이다.

참고리만 텐서의 분해

4차원에서 리만 텐서의 20개 독립 성분은 다음과 같이 분해된다:

바일 텐서 $C_{\rho\sigma\mu\nu}$ : 10개 -- 무흔적 부분, 진공에서의 자유 중력장(중력파)
무흔적 리치 텐서 $S_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{4}g_{\mu\nu}R$ : 9개 -- 물질에 의한 비등방적 곡률
리치 스칼라 $R$ : 1개 -- 물질에 의한 등방적 곡률

진공( $T_{\mu\nu} = 0$ )에서 아인슈타인 방정식에 의해 $R_{\mu\nu} = 0$ 이므로, 진공의 곡률은 전적으로 바일 텐서에 의해 결정된다.

정의5.5제2 비앙키 항등식

리만 텐서는 **제2 비앙키 항등식(second Bianchi identity)**을 만족한다:

\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu} + \nabla_\mu R_{\rho\sigma\nu\lambda} + \nabla_\nu R_{\rho\sigma\lambda\mu} = 0

이를 축약하면 **축약된 비앙키 항등식(contracted Bianchi identity)**을 얻는다:

\nabla_\mu R^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \nabla^\nu R

또는 동등하게

\nabla_\mu \left( R^{\mu\nu} - \frac{1}{2} g^{\mu\nu} R \right) = 0

괄호 안의 텐서가 바로 아인슈타인 텐서(Einstein tensor) $G^{\mu\nu}$ 이며, 이 항등식은 아인슈타인 장방정식의 자기 무모순성을 보장한다.

정의5.6곡률 불변량

좌표계에 무관한 곡률의 크기를 나타내는 **곡률 불변량(curvature invariant)**으로 대표적인 것은:

크레치만 스칼라(Kretschner scalar):

K = R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma}

슈바르츠실트 시공간에서:

K = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6}

이 값은 $r \to 0$ 에서 발산하므로 원점의 특이점이 **진정한 곡률 특이점(curvature singularity)**임을 확인할 수 있다. 반면 $r = 2GM/c^2$ (사건의 지평선)에서는 유한하므로 이는 좌표 특이점에 불과하다.

예제2차원 구면의 곡률

반지름 $a$ 인 2차원 구면 $S^2$ 의 계량은 $ds^2 = a^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)$ 이다.

리만 텐서의 유일한 독립 성분은:

R_{\theta\phi\theta\phi} = a^2 \sin^2\theta

리치 텐서와 리치 스칼라는:

R_{\theta\theta} = 1, \quad R_{\phi\phi} = \sin^2\theta, \quad R = \frac{2}{a^2}

스칼라 곡률 $R = 2/a^2$ 는 구면 전체에서 일정하며, 반지름이 클수록 곡률이 작아진다. 이는 가우스 곡률 $K = 1/a^2$ 과 $R = 2K$ 의 관계를 만족한다.