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물리학 강의 노트

개념완성

아인슈타인 텐서 (Einstein Tensor)

1. 정의

정의2.1아인슈타인 텐서

아인슈타인 텐서(Einstein tensor) GμνG_{\mu\nu}는 리치 텐서 RμνR_{\mu\nu}와 리치 스칼라 RR로 정의되는 (0,2)-형 대칭 텐서이다:

Gμν=Rμν−12gμνRG_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R

반변 형태는:

Gμν=Rμν−12gμνRG^{\mu\nu} = R^{\mu\nu} - \frac{1}{2} g^{\mu\nu} R

흔적(trace)은:

G=gμνGμν=R−12⋅4⋅R=−RG = g^{\mu\nu} G_{\mu\nu} = R - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot R = -R

따라서 R=−GR = -G이며, 4차원에서 아인슈타인 텐서의 흔적은 리치 스칼라의 부호를 바꾼 것이다.

2. 발산 없음 조건

아인슈타인 텐서의 가장 중요한 성질은 자동으로 발산이 영(divergence-free)이라는 것이다.

유도아인슈타인 텐서의 발산 없음

축약된 비앙키 항등식에서 출발한다:

∇μRμν=12∇νR\nabla_\mu R^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \nabla^\nu R

아인슈타인 텐서의 발산을 계산하면:

∇μGμν=∇μRμν−12gμν∇μR=∇μRμν−12∇νR\nabla_\mu G^{\mu\nu} = \nabla_\mu R^{\mu\nu} - \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \nabla_\mu R = \nabla_\mu R^{\mu\nu} - \frac{1}{2} \nabla^\nu R

비앙키 항등식을 대입하면:

∇μGμν=12∇νR−12∇νR=0\nabla_\mu G^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \nabla^\nu R - \frac{1}{2} \nabla^\nu R = 0

따라서 아인슈타인 텐서는 순수하게 기하학적 항등식으로서 발산이 영이다:

∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0

이것은 역학 방정식이 아니라 **기하학적 항등식(geometric identity)**이다.

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참고발산 없음 조건의 물리적 의미

에너지-운동량 텐서의 보존 법칙 ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0은 물리적으로 필수적이다. 아인슈타인 장방정식 Gμν=8πG TμνG^{\mu\nu} = 8\pi G \, T^{\mu\nu}에서 좌변의 ∇μGμν=0\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0은 자동으로 ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0을 함의한다. 이것이 아인슈타인 텐서가 장방정식의 기하학적 측면에 적합한 유일한 텐서인 이유이다.

3. 유일성: 로블록 정리

정의2.2로블록 정리

로블록 정리(Lovelock's theorem): 4차원에서, 계량 텐서 gμνg_{\mu\nu}와 그 1차 및 2차 도함수로만 구성되고, 대칭이며, 발산이 영인 (0,2)-형 텐서는

a Gμν+b gμνa \, G_{\mu\nu} + b \, g_{\mu\nu}

형태가 유일하다. 여기서 a,ba, b는 상수이다.

따라서 아인슈타인 장방정식에서 기하학 측은 Gμν+ΛgμνG_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}가 가장 일반적인 형태이며, Λ\Lambda는 **우주상수(cosmological constant)**이다.

4. 아인슈타인 텐서의 성분

예제일반 구대칭 정적 계량에서의 아인슈타인 텐서

구대칭 정적 계량을

ds2=−e2α(r)dt2+e2β(r)dr2+r2dΩ2ds^2 = -e^{2\alpha(r)} dt^2 + e^{2\beta(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2

로 놓자. 여기서 dΩ2=dθ2+sin⁡2θ dϕ2d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2이다.

아인슈타인 텐서의 독립적 성분은:

G tt=−1r2ddr[r(1−e−2β)]G^t_{\ t} = -\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}\left[r(1 - e^{-2\beta})\right]G rr=−1r2(1−e−2β)+2α′re−2βG^r_{\ r} = -\frac{1}{r^2}(1 - e^{-2\beta}) + \frac{2\alpha'}{r} e^{-2\beta}G θθ=G ϕϕ=e−2β[α′′+(α′)2−α′β′+α′−β′r]G^\theta_{\ \theta} = G^\phi_{\ \phi} = e^{-2\beta}\left[\alpha'' + (\alpha')^2 - \alpha'\beta' + \frac{\alpha' - \beta'}{r}\right]

여기서 프라임은 rr에 대한 미분을 나타낸다.

5. 우주상수 포함

정의2.3우주상수를 포함한 아인슈타인 텐서

우주상수 Λ\Lambda를 포함한 수정된 아인슈타인 방정식은:

Gμν+Λgμν=8πG TμνG_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi G \, T_{\mu\nu}

이를 유효 아인슈타인 텐서로 볼 수 있다:

Gμν=Gμν+Λgμν\mathcal{G}_{\mu\nu} = G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}

∇μgμν=0\nabla_\mu g^{\mu\nu} = 0이므로 ∇μGμν=0\nabla_\mu \mathcal{G}^{\mu\nu} = 0이 자동으로 성립한다.

대안적으로, 우주상수를 기하학이 아닌 물질 측으로 옮기면:

Gμν=8πG(Tμν+Tμν(Λ)),Tμν(Λ)=−Λ8πGgμνG_{\mu\nu} = 8\pi G \left( T_{\mu\nu} + T^{(\Lambda)}_{\mu\nu} \right), \quad T^{(\Lambda)}_{\mu\nu} = -\frac{\Lambda}{8\pi G} g_{\mu\nu}

이는 에너지 밀도 ρΛ=Λ/(8πG)\rho_\Lambda = \Lambda/(8\pi G), 압력 pΛ=−ρΛp_\Lambda = -\rho_\Lambda인 완전 유체에 해당한다.

6. 선형화된 아인슈타인 텐서

정의2.4선형화된 아인슈타인 텐서

계량이 민코프스키 배경에 대한 작은 섭동 gμν=ημν+hμνg_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} (∣hμν∣≪1|h_{\mu\nu}| \ll 1)일 때, 1차 근사에서 아인슈타인 텐서는:

Gμν(1)=−12(□hˉμν+ημν∂α∂βhˉαβ−∂α∂νhˉμα−∂α∂μhˉνα)G^{(1)}_{\mu\nu} = -\frac{1}{2} \left( \Box \bar{h}_{\mu\nu} + \eta_{\mu\nu} \partial^\alpha \partial^\beta \bar{h}_{\alpha\beta} - \partial^\alpha \partial_\nu \bar{h}_{\mu\alpha} - \partial^\alpha \partial_\mu \bar{h}_{\nu\alpha} \right)

여기서 hˉμν=hμν−12ημνh\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h는 흔적 반전(trace-reversed) 섭동이고, □=ημν∂μ∂ν\Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu는 달랑베르 연산자이다.

로렌츠 게이지(Lorenz gauge) ∂μhˉμν=0\partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu} = 0에서:

Gμν(1)=−12□hˉμνG^{(1)}_{\mu\nu} = -\frac{1}{2} \Box \bar{h}_{\mu\nu}

이 결과는 중력파 이론의 출발점이 된다.