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물리학 강의 노트

개념완성

에너지-운동량 텐서 (Stress-Energy Tensor)

1. 정의와 물리적 의미

정의3.1에너지-운동량 텐서

에너지-운동량 텐서(stress-energy tensor) TμνT^{\mu\nu}는 시공간의 물질과 에너지 분포를 기술하는 (2,0)-형 대칭 텐서이다. 관측자의 4-속도 uμu^\mu에 대해 각 성분의 물리적 의미는:

  • T00T^{00}: 에너지 밀도 (관측자가 측정하는 에너지 밀도)
  • T0iT^{0i}: 에너지 유속 = 운동량 밀도 (c=1c = 1 단위)
  • TijT^{ij}: 응력 텐서 (공간 방향의 운동량 유속)
Tμν=(에너지 밀도에너지 유속운동량 밀도응력)T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \text{에너지 밀도} & \text{에너지 유속} \\ \text{운동량 밀도} & \text{응력} \end{pmatrix}

TμνT^{\mu\nu}는 대칭이다: Tμν=TνμT^{\mu\nu} = T^{\nu\mu} (각운동량 보존에 의해).

2. 물질 작용으로부터의 정의

정의3.2힐베르트 에너지-운동량 텐서

물질 작용 SM=∫LM−g d4xS_M = \int \mathcal{L}_M \sqrt{-g} \, d^4x로부터 에너지-운동량 텐서는 계량에 대한 변분으로 정의된다:

Tμν=−2−gδSMδgμνT^{\mu\nu} = -\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_M}{\delta g_{\mu\nu}}

이 정의는 자동으로 대칭 텐서를 주며, 벨린판테-로젠펠트(Belinfante-Rosenfeld) 텐서와 일치한다. 또한 ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0이 디피오모르피즘 불변성(diffeomorphism invariance)으로부터 자동으로 보장된다.

3. 완전 유체

정의3.3완전 유체의 에너지-운동량 텐서

**완전 유체(perfect fluid)**는 점성과 열전도가 없는 이상화된 물질이다. 공동운동 관측자(comoving observer)의 4-속도 uμu^\mu에 대해:

Tμν=(ρ+p)uμuν+p gμνT^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + p \, g^{\mu\nu}

여기서:

  • ρ\rho: 고유 에너지 밀도(proper energy density)
  • pp: 등방 압력(isotropic pressure)
  • uμu^\mu: 유체의 4-속도 (uμuμ=−1u^\mu u_\mu = -1)

공동운동 좌표계에서 성분은:

Tμν=(ρ0000p0000p0000p)T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{pmatrix}
예제다양한 물질의 에너지-운동량 텐서

먼지(dust): 압력이 없는 물질 (p=0p = 0)

Tμν=ρ uμuνT^{\mu\nu} = \rho \, u^\mu u^\nu

전자기장: 전자기장 텐서 FμνF_{\mu\nu}로부터

Tμν=14π(FμαF αν−14gμνFαβFαβ)T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\left(F^{\mu\alpha}F^{\nu}_{\ \alpha} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\right)

전자기장의 에너지-운동량 텐서는 무흔적이다: T μμ=0T^\mu_{\ \mu} = 0.

스칼라장: 질량 mm인 스칼라장 ϕ\phi에 대해

Tμν=∇μϕ∇νϕ−gμν(12gαβ∇αϕ∇βϕ+12m2ϕ2)T_{\mu\nu} = \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi - g_{\mu\nu}\left(\frac{1}{2} g^{\alpha\beta} \nabla_\alpha \phi \nabla_\beta \phi + \frac{1}{2}m^2\phi^2\right)

4. 보존 법칙

정의3.4에너지-운동량 보존

에너지-운동량 텐서의 **공변 보존 법칙(covariant conservation law)**은:

∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0

ν=0\nu = 0 성분은 에너지 보존, ν=i\nu = i 성분은 운동량 보존(오일러 방정식)에 해당한다.

참고공변 보존과 진정한 보존

∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0은 일반적으로 적분 형태의 보존 법칙을 의미하지 않는다. 즉, 전체 에너지나 운동량이 보존되는 것은 아니다. 그 이유는 공변 미분에 크리스토펠 기호가 포함되어 있기 때문이다:

∇μTμν=∂μTμν+Γ μλμTλν+Γ μλνTμλ=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = \partial_\mu T^{\mu\nu} + \Gamma^\mu_{\ \mu\lambda} T^{\lambda\nu} + \Gamma^\nu_{\ \mu\lambda} T^{\mu\lambda} = 0

추가 항들은 중력장과 물질 사이의 에너지-운동량 교환을 나타낸다. 시공간이 킬링 벡터 ξν\xi_\nu를 가지는 경우에만 보존 전류 Jμ=TμνξνJ^\mu = T^{\mu\nu}\xi_\nu를 정의할 수 있고, ∇μJμ=0\nabla_\mu J^\mu = 0이 진정한 보존 법칙이 된다.

5. 에너지 조건

물리적으로 합리적인 물질이 만족해야 하는 조건들을 **에너지 조건(energy conditions)**이라 한다.

정의3.5에너지 조건

에너지-운동량 텐서 TμνT_{\mu\nu}에 대한 주요 에너지 조건:

약한 에너지 조건(Weak Energy Condition, WEC): 모든 시간꼴 벡터 tμt^\mu에 대해

Tμνtμtν≥0T_{\mu\nu} t^\mu t^\nu \geq 0

완전 유체에서 이는 ρ≥0\rho \geq 0이고 ρ+p≥0\rho + p \geq 0이다.

강한 에너지 조건(Strong Energy Condition, SEC): 모든 시간꼴 벡터 tμt^\mu에 대해

(Tμν−12T gμν)tμtν≥0\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} T \, g_{\mu\nu}\right) t^\mu t^\nu \geq 0

완전 유체에서 ρ+p≥0\rho + p \geq 0이고 ρ+3p≥0\rho + 3p \geq 0이다.

우세 에너지 조건(Dominant Energy Condition, DEC): WEC을 만족하고, 모든 미래 지향 시간꼴 벡터 tμt^\mu에 대해 −T νμtν-T^{\mu}_{\ \nu} t^\nu가 미래 지향 인과적(causal) 벡터이다.

영 에너지 조건(Null Energy Condition, NEC): 모든 영벡터 kμk^\mu에 대해

Tμνkμkν≥0T_{\mu\nu} k^\mu k^\nu \geq 0

6. 상태 방정식

정의3.6상태 방정식

**상태 방정식(equation of state)**은 압력과 에너지 밀도의 관계 p=p(ρ)p = p(\rho)이다. 우주론에서 흔히 사용하는 바로트로픽(barotropic) 상태 방정식은:

p=wρp = w \rho

여기서 ww는 상태 방정식 매개변수이다:

| 물질 종류 | ww | 비고 | |-----------|-----|------| | 먼지(비상대론적 물질) | 00 | ρ∝a−3\rho \propto a^{-3} | | 복사(상대론적 물질) | 1/31/3 | ρ∝a−4\rho \propto a^{-4} | | 우주상수 | −1-1 | ρ=const\rho = \text{const} | | 경직 물질(stiff matter) | 11 | ρ∝a−6\rho \propto a^{-6} |

여기서 aa는 우주의 스케일 인자이며, 에너지 보존 ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0으로부터 ρ∝a−3(1+w)\rho \propto a^{-3(1+w)}가 유도된다.