아인슈타인-힐베르트 작용에서 유도 (Einstein-Hilbert Action Derivation)

1. 아인슈타인-힐베르트 작용

정의1.1아인슈타인-힐베르트 작용

**아인슈타인-힐베르트 작용(Einstein-Hilbert action)**은 일반상대론의 중력장에 대한 작용으로:

S_{EH} = \frac{c^4}{16\pi G} \int_{\mathcal{M}} R \sqrt{-g} \, d^4x

물질 작용 $S_M$ 을 포함한 전체 작용은:

S = S_{EH} + S_M = \frac{1}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + \int \mathcal{L}_M \sqrt{-g} \, d^4x

(자연단위계 $c = 1$ 사용)

이 작용의 정상성(stationarity) 조건 $\delta S / \delta g^{\mu\nu} = 0$ 으로부터 아인슈타인 장방정식이 유도된다.

2. 변분에 필요한 보조 결과

유도에 앞서 핵심적인 수학적 결과들을 준비한다.

유도$\sqrt{-g}$의 변분

행렬식의 변분을 계산한다. 일반적으로 행렬 $A$ 에 대해:

\delta(\det A) = \det A \cdot \text{tr}(A^{-1} \delta A)

계량 텐서에 적용하면:

\delta g = g \cdot g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}

따라서:

\delta \sqrt{-g} = -\frac{1}{2\sqrt{-g}} \delta g = -\frac{1}{2\sqrt{-g}} \cdot g \cdot g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\sqrt{-g} \, g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}

또한 $g_{\mu\alpha} g^{\alpha\nu} = \delta^\nu_\mu$ 의 변분으로부터:

\delta g^{\mu\nu} = -g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} \delta g_{\alpha\beta}

이를 결합하면:

\delta \sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g} \, g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}

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3. 리치 스칼라의 변분

유도리치 스칼라의 변분 (팔라티니 항등식)

$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ 이므로:

\delta R = \delta g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} + g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu}

첫 번째 항은 이미 알려져 있다.

두 번째 항: 리치 텐서의 변분을 계산한다. **팔라티니 항등식(Palatini identity)**에 의하면:

\delta R_{\mu\nu} = \nabla_\lambda (\delta \Gamma^\lambda_{\ \nu\mu}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\lambda_{\ \lambda\mu})

이를 증명하기 위해, 리치 텐서의 정의에서:

\delta R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu (\delta\Gamma^\rho_{\ \nu\sigma}) - \partial_\nu (\delta\Gamma^\rho_{\ \mu\sigma}) + \delta\Gamma^\rho_{\ \mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\ \nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\ \mu\lambda}\delta\Gamma^\lambda_{\ \nu\sigma} - (\mu \leftrightarrow \nu)

$\delta\Gamma^\rho_{\ \mu\nu}$ 는 두 접속의 차이이므로 텐서이다. 따라서 위 식은:

\delta R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \nabla_\mu(\delta\Gamma^\rho_{\ \nu\sigma}) - \nabla_\nu(\delta\Gamma^\rho_{\ \mu\sigma})

$\rho = \mu$ 로 축약하면 팔라티니 항등식을 얻는다.

따라서:

g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} = g^{\mu\nu}\nabla_\lambda(\delta\Gamma^\lambda_{\ \nu\mu}) - g^{\mu\nu}\nabla_\nu(\delta\Gamma^\lambda_{\ \lambda\mu}) = \nabla_\lambda V^\lambda

여기서 $V^\lambda = g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\lambda_{\ \nu\mu} - g^{\mu\lambda}\delta\Gamma^\nu_{\ \nu\mu}$ 이다.

이 항은 **전미분(total divergence)**이므로, 스토크스 정리에 의해 경계항으로 변환된다:

\int g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} \sqrt{-g} \, d^4x = \int \nabla_\lambda V^\lambda \sqrt{-g} \, d^4x = \oint_{\partial\mathcal{M}} V^\lambda \, d\Sigma_\lambda

경계에서 $\delta g_{\mu\nu} = 0$ 으로 놓으면 이 경계항은 사라진다.

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4. 아인슈타인 방정식의 유도

유도아인슈타인 장방정식의 유도

전체 작용의 변분을 계산한다:

\delta S = \frac{1}{16\pi G} \int \delta(R\sqrt{-g}) \, d^4x + \delta S_M

$R\sqrt{-g}$ 의 변분을 정리하면:

\delta(R\sqrt{-g}) = (\delta R)\sqrt{-g} + R \, \delta\sqrt{-g}

= \left(\delta g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} + \nabla_\lambda V^\lambda\right)\sqrt{-g} + R\left(-\frac{1}{2}\sqrt{-g} \, g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\right)

= \left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\right)\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g} + \nabla_\lambda V^\lambda \sqrt{-g}

전미분 항을 버리면:

\delta S_{EH} = \frac{1}{16\pi G}\int G_{\mu\nu} \, \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g} \, d^4x

물질 작용의 변분은 에너지-운동량 텐서의 정의에 의해:

\delta S_M = -\frac{1}{2}\int T_{\mu\nu} \, \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g} \, d^4x

전체 작용의 정상성 $\delta S = 0$ :

\frac{1}{16\pi G} G_{\mu\nu} - \frac{1}{2} T_{\mu\nu} = 0

따라서:

\boxed{G_{\mu\nu} = 8\pi G \, T_{\mu\nu}}

이것이 아인슈타인 장방정식이다.

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5. 우주상수의 포함

유도우주상수 항의 유도

작용에 우주상수 항을 추가한다:

S = \frac{1}{16\pi G}\int (R - 2\Lambda)\sqrt{-g} \, d^4x + S_M

추가 항의 변분은:

\delta\left(-2\Lambda\sqrt{-g}\right) = -2\Lambda \left(-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu} = \Lambda g_{\mu\nu}\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu\nu}

따라서 수정된 장방정식은:

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi G \, T_{\mu\nu}

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6. 기번스-호킹-요크 경계항

참고경계항의 중요성

작용 원리가 잘 정의되려면, 경계에서 $\delta g_{\mu\nu} = 0$ 만으로 경계항이 모두 사라져야 한다. 그러나 아인슈타인-힐베르트 작용에서 팔라티니 항등식의 전미분 항은 $\delta\Gamma$ 를 포함하며, 이는 $g_{\mu\nu}$ 의 **법선 방향 도함수(normal derivative)**를 포함한다. $\delta g_{\mu\nu}|_{\partial\mathcal{M}} = 0$ 만으로는 이 항이 사라지지 않는다.

이를 해결하기 위해 기번스-호킹-요크(Gibbons-Hawking-York, GHY) 경계항을 추가한다:

S_{GHY} = \frac{1}{8\pi G} \oint_{\partial\mathcal{M}} K \sqrt{|h|} \, d^3y

여기서 $K = h^{ab}K_{ab}$ 는 경계의 **외재 곡률(extrinsic curvature)**의 흔적이고, $h_{ab}$ 는 경계 위의 유도 계량(induced metric)이다.

전체 잘 정의된(well-posed) 중력 작용은:

S_{\text{grav}} = \frac{1}{16\pi G}\int_{\mathcal{M}} R\sqrt{-g}\,d^4x + \frac{1}{8\pi G}\oint_{\partial\mathcal{M}} K\sqrt{|h|}\,d^3y

이 경계항은 블랙홀 열역학과 홀로그래피 원리에서도 중요한 역할을 한다.