아인슈타인 장방정식 (Einstein Field Equations)

1. 장방정식의 진술

법칙1.1아인슈타인 장방정식

시공간의 기하학과 물질-에너지 분포의 관계를 기술하는 **아인슈타인 장방정식(Einstein field equations)**은:

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}

여기서:

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$ : 아인슈타인 텐서 (시공간의 곡률)
$\Lambda$ : 우주상수 (cosmological constant)
$G$ : 뉴턴 중력 상수 ( $6.674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}$ )
$T_{\mu\nu}$ : 에너지-운동량 텐서 (물질과 에너지의 분포)

자연단위계 ( $c = G = 1$ )에서:

G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}

이는 10개의 독립적인 2차 편미분 방정식 체계로, 미지 함수는 계량 텐서 $g_{\mu\nu}$ 의 10개 독립 성분이다.

장방정식의 흔적을 취하면 유용한 스칼라 방정식을 얻는다.

유도흔적 방정식

$g^{\mu\nu}$ 를 곱하면:

g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} + \Lambda g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = 8\pi g^{\mu\nu} T_{\mu\nu}

R - 2R + 4\Lambda = 8\pi T

-R + 4\Lambda = 8\pi T

따라서:

R = -8\pi T + 4\Lambda

이를 원래 방정식에 대입하면 **흔적 반전 형태(trace-reversed form)**를 얻는다:

R_{\mu\nu} = 8\pi \left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right) + \Lambda g_{\mu\nu}

진공( $T_{\mu\nu} = 0$ , $\Lambda = 0$ )에서:

R_{\mu\nu} = 0

이것이 **진공 아인슈타인 방정식(vacuum Einstein equations)**이다.

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아인슈타인 방정식이 뉴턴 중력을 올바르게 재현하는지 확인한다.

유도뉴턴 극한에서의 $8\pi G$ 결정

약한 중력장( $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ , $|h_{\mu\nu}| \ll 1$ )과 느린 운동( $v \ll c$ ), 정적 상황에서 지배적인 성분은 $\mu = \nu = 0$ 이다.

에너지-운동량 텐서: $T_{00} \approx \rho c^2$ , $T \approx -\rho c^2$

흔적 반전 형태의 $00$ 성분:

R_{00} = 8\pi G \left(T_{00} - \frac{1}{2}g_{00}T\right) \approx 8\pi G \left(\rho c^2 + \frac{1}{2}\rho c^2\right) = 4\pi G \rho c^2 \cdot \frac{3}{... }

정확하게 계산하면, $g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)$ 에서

R_{00} \approx -\frac{1}{c^2}\nabla^2 \Phi

따라서:

-\frac{1}{c^2}\nabla^2 \Phi = \frac{4\pi G}{c^2} \rho \cdot c^2 \cdot \frac{1}{c^2}

이것이 포아송 방정식(Poisson equation)

\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho

을 재현하려면, 결합 상수가 정확히 $8\pi G/c^4$ 이어야 한다. 이것이 아인슈타인 방정식의 계수를 결정하는 방법이다.

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참고장방정식의 수학적 구조

아인슈타인 방정식은 $g_{\mu\nu}$ 에 대한 10개의 2차 비선형 편미분 방정식이다. 그러나:

비앙키 항등식 $\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0$ 이 4개의 구속 조건을 부과하므로, 독립 방정식은 $10 - 4 = 6$ 개이다.
좌표 자유도: 4개의 좌표 함수를 자유롭게 선택할 수 있으므로, 물리적 자유도는 $10 - 4 = 6$ 개이다.
따라서 $6$ 개의 독립 방정식으로 $6$ 개의 물리적 자유도를 결정한다.

진공에서 이 6개의 자유도 중 2개가 중력파의 두 편광 모드에 해당한다.

예제주요 정확해

아인슈타인 방정식의 주요 정확해(exact solutions)들:

슈바르츠실트 해 (1916): 구대칭 진공해

ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2

커 해 (1963): 축대칭 회전하는 블랙홀

ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s r}{\Sigma}\right)c^2 dt^2 - \frac{2r_s r a \sin^2\theta}{\Sigma} \, c \, dt \, d\phi + \frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma \, d\theta^2 + \frac{A \sin^2\theta}{\Sigma}d\phi^2

여기서 $\Sigma = r^2 + a^2\cos^2\theta$ , $\Delta = r^2 - r_s r + a^2$ .

FRW 해 (1922-1935): 균질 등방 우주론

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2 d\Omega^2\right]

참고ADM 형식론

아인슈타인 방정식을 초기값 문제로 재구성하는 것이 ADM(Arnowitt-Deser-Misner) 형식론이다. 시공간을 공간적 초곡면(spacelike hypersurface) $\Sigma_t$ 의 엽층(foliation)으로 분해한다:

ds^2 = -(N^2 - N_i N^i) dt^2 + 2N_i \, dx^i \, dt + \gamma_{ij} \, dx^i \, dx^j

여기서 $N$ 은 소급 함수(lapse function), $N^i$ 는 이동 벡터(shift vector), $\gamma_{ij}$ 는 공간 계량이다.

아인슈타인 방정식의 10개 성분 중:

구속 방정식(constraint equations): $G^{0\mu} = 8\pi T^{0\mu}$ (4개) -- 초기 데이터에 대한 타원형 방정식
발전 방정식(evolution equations): $G^{ij} = 8\pi T^{ij}$ (6개) -- 시간 발전을 기술하는 쌍곡형 방정식

구속 방정식이 초기 시간에 만족되면, 비앙키 항등식에 의해 모든 시간에 자동으로 만족된다.