물리학 강의 노트

정의1.1슈바르츠실트 계량

**슈바르츠실트 계량(Schwarzschild metric)**은 구대칭 질량 $M$ 외부의 진공 시공간을 기술하는 정확해로, 1916년 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)에 의해 발견되었다:

ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)

여기서 **슈바르츠실트 반지름(Schwarzschild radius)**은:

r_s = \frac{2GM}{c^2}

자연단위계( $c = G = 1$ )에서:

ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2

참고좌표의 물리적 의미

슈바르츠실트 좌표 $(t, r, \theta, \phi)$ 의 의미:

$r$ 은 중심으로부터의 "거리"가 아니다. 실제 방사 방향 고유 거리는:

d\ell = \frac{dr}{\sqrt{1 - r_s/r}}

이며, $r \to r_s$ 에서 발산한다.

정의1.2좌표 특이점과 곡률 특이점

슈바르츠실트 계량은 두 곳에서 특이적이다:

$r = r_s$ (좌표 특이점): $g_{rr}$ 이 발산하지만, 크레치만 스칼라

K = R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{48G^2M^2}{c^4 r^6}

는 $r = r_s$ 에서 유한하다. 따라서 이것은 좌표계의 선택에 의한 **좌표 특이점(coordinate singularity)**이며, 에딩턴-핑켈슈타인 좌표나 크루스칼-세케레스 좌표로 제거할 수 있다.

$r = 0$ (곡률 특이점): $K \to \infty$ 이므로 진정한 **곡률 특이점(curvature singularity)**이다. 이는 좌표 변환으로 제거할 수 없으며, 일반상대론이 적용 한계에 도달함을 시사한다.

유도유효 퍼텐셜

킬링 벡터에 의한 보존량 -- 에너지 $E$ 와 각운동량 $L$ -- 을 이용하여, 시간꼴 측지선의 방사 방향 운동은 1차원 문제로 환원된다.

$g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$ 에서:

-\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^2 = -1

적도면( $\theta = \pi/2$ )에서 보존량을 대입하면:

\frac{1}{2}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 + V_{\text{eff}}(r) = \frac{1}{2}(E^2 - 1)

**유효 퍼텐셜(effective potential)**은:

V_{\text{eff}}(r) = -\frac{M}{r} + \frac{L^2}{2r^2} - \frac{ML^2}{r^3}

마지막 항 $-ML^2/r^3$ 이 뉴턴 역학에 없는 일반상대론적 보정항이다. 이 항이 수성의 근일점 이동과 같은 관측 가능한 효과를 만든다.

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예제수성의 근일점 이동

슈바르츠실트 시공간에서 행성 궤도는 닫히지 않는다. 준원형 궤도에서 한 공전당 근일점 이동은:

\Delta\phi = \frac{6\pi G M}{c^2 a(1-e^2)}

여기서 $a$ 는 장반경, $e$ 는 이심률이다.

수성에 대해 ( $a = 5.79 \times 10^{10}$ m, $e = 0.2056$ , $M = M_\odot$ ):

\Delta\phi \approx 5.03 \times 10^{-7} \text{ rad/orbit} = 42.98 \text{ arcsec/century}

이 예측은 관측값과 정밀하게 일치하며, 일반상대론의 첫 번째 실험적 검증이었다.

예제빛의 편향

태양 가까이를 지나는 빛의 편향 각도는 영 측지선으로부터 계산된다:

\delta\phi = \frac{4GM}{c^2 b}

여기서 $b$ 는 최근접 거리(충돌 매개변수)이다. 태양 표면을 스치는 빛의 경우:

\delta\phi = \frac{4GM_\odot}{c^2 R_\odot} \approx 1.75 \text{ arcsec}

이 값은 뉴턴 이론의 예측( $0.875''$ )의 정확히 2배이며, 1919년 에딩턴(Eddington)의 개기일식 관측으로 확인되었다.

정의1.3에딩턴-핑켈슈타인 좌표

$r = r_s$ 에서의 좌표 특이점을 제거하기 위해, **진행 에딩턴-핑켈슈타인 좌표(advanced Eddington-Finkelstein coordinates)**를 도입한다. 거북 좌표(tortoise coordinate)

r^* = r + r_s \ln\left|\frac{r}{r_s} - 1\right|

와 진행 시간 $v = t + r^*$ 를 정의하면:

ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)dv^2 + 2\,dv\,dr + r^2 d\Omega^2

이 계량은 $r = r_s$ 에서 정칙(regular)이며, 사건의 지평선을 가로지르는 물리적 과정을 기술할 수 있다.

슈바르츠실트 계량 (Schwarzschild Metric)