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물리학 강의 노트

개념완성

사건의 지평선 (Event Horizon)

1. 정의

정의2.1사건의 지평선

**사건의 지평선(event horizon)**은 시공간에서 미래의 영 무한대(future null infinity) I+\mathscr{I}^+와 인과적으로 연결될 수 있는 영역의 경계이다. 수학적으로:

H+=∂J−(I+)\mathcal{H}^+ = \partial J^-(\mathscr{I}^+)

여기서 J−(I+)J^-(\mathscr{I}^+)는 I+\mathscr{I}^+의 인과적 과거(causal past)이다.

슈바르츠실트 시공간에서 사건의 지평선은 r=rs=2GM/c2r = r_s = 2GM/c^2에 위치한다. 이 면 안쪽에서 방출된 빛은 외부의 관측자에게 도달할 수 없다.

2. 지평선의 기하학적 성질

정의2.2영 초곡면과 킬링 지평선

슈바르츠실트 사건의 지평선은 **영 초곡면(null hypersurface)**이다. 즉, 지평선의 법선벡터(normal vector)가 영벡터(null vector)이다:

gμν(∂μf)(∂νf)∣r=rs=0,f=r−rsg^{\mu\nu}(\partial_\mu f)(\partial_\nu f)\big|_{r=r_s} = 0, \quad f = r - r_s

또한 슈바르츠실트 지평선은 **킬링 지평선(Killing horizon)**이다: 시간 킬링 벡터 ξμ=(∂/∂t)μ\xi^\mu = (\partial/\partial t)^\mu가 지평선 위에서 영벡터가 된다:

ξμξμ=gtt=−(1−rsr)→r→rs0\xi^\mu \xi_\mu = g_{tt} = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) \xrightarrow{r \to r_s} 0

r>rsr > r_s에서 ξμ\xi^\mu는 시간꼴, r<rsr < r_s에서는 공간꼴이다.

3. 표면 중력

정의2.3표면 중력

킬링 지평선의 표면 중력(surface gravity) κ\kappa는 지평선 위에서 킬링 벡터가 만족하는 측지선 편차율로 정의된다:

∇μ(ξνξν)=−2κ ξμ∣H\nabla_\mu (\xi^\nu \xi_\nu) = -2\kappa \, \xi_\mu \bigg|_{\mathcal{H}}

또는 동등하게:

ξμ∇μξν=κ ξν∣H\xi^\mu \nabla_\mu \xi^\nu = \kappa \, \xi^\nu \bigg|_{\mathcal{H}}

슈바르츠실트 블랙홀에서:

κ=12ddr(1−rsr)∣r=rs=12rs=c44GM\kappa = \frac{1}{2}\frac{d}{dr}\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\bigg|_{r=r_s} = \frac{1}{2r_s} = \frac{c^4}{4GM}

표면 중력은 지평선 가까이의 관측자가 느끼는 가속도를 무한대에서 재규격화한 것이다.

4. 지평선 근처의 물리

예제적색편이와 시간 지연

r=r0>rsr = r_0 > r_s에서 정지한 관측자의 고유시간과 좌표시간의 관계는:

dτ=1−rsr0 dtd\tau = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r_0}} \, dt

r0→rsr_0 \to r_s이면 dτ/dt→0d\tau/dt \to 0이다. 즉, 원거리 관측자의 관점에서 지평선에 접근하는 물체의 시간은 무한히 느려진다.

지평선 근처에서 방출된 빛의 진동수는 무한한 적색편이를 겪는다:

ν∞νemit=1−rsremit→remit→rs0\frac{\nu_\infty}{\nu_{\text{emit}}} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r_{\text{emit}}}} \xrightarrow{r_{\text{emit}} \to r_s} 0

따라서 외부 관측자에게 물체는 지평선을 결코 넘지 않는 것처럼 보이며, 점점 어두워지고 적색편이되어 사라진다.

5. 지평선을 가로지르는 자유 낙하

참고자유 낙하 관측자의 경험

자유 낙하하는 관측자에게 지평선은 특별한 것이 아니다:

  1. 유한한 고유시간 내에 지평선을 통과한다
  2. 지평선에서 조석력(tidal force)은 유한하다 -- 충분히 큰 블랙홀이면 무시할 수 있을 정도
  3. 지평선을 통과하는 순간을 국소적으로 감지할 수 없다

에딩턴-핑켈슈타인 좌표에서, 정지 상태에서 자유 낙하하는 관측자의 고유시간은:

τ=23r03/2(2M)1/2−23r3/2(2M)1/2\tau = \frac{2}{3}\frac{r_0^{3/2}}{(2M)^{1/2}} - \frac{2}{3}\frac{r^{3/2}}{(2M)^{1/2}}

이는 r=rsr = r_s와 r=0r = 0 모두에서 유한하다. 자유 낙하 관측자는 지평선을 통과한 후 유한한 고유시간 Δτ=πM\Delta\tau = \pi M (자연단위) 내에 특이점에 도달한다.

6. 지평선 내부

정의2.4$r < r_s$ 영역의 구조

r<rsr < r_s에서 계량의 부호가 바뀐다:

gtt=−(1−rsr)>0,grr=(1−rsr)−1<0g_{tt} = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) > 0, \quad g_{rr} = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} < 0

즉 rr이 시간꼴 좌표, tt가 공간꼴 좌표가 된다. 이것은:

  1. rr의 감소는 시간의 흐름처럼 불가피하다 -- 특이점 r=0r = 0은 미래의 한 시점이다
  2. r=constr = \text{const}인 정적 관측자가 존재할 수 없다
  3. 모든 미래 지향 세계선은 반드시 r=0r = 0에 도달한다

따라서 사건의 지평선 내부에 들어간 물체(빛 포함)는 특이점에 도달하는 것을 피할 수 없다.

참고펜로즈 다이어그램

시공간의 인과 구조를 한눈에 파악하기 위해 펜로즈 다이어그램(Penrose diagram) 또는 **카터-펜로즈 다이어그램(Carter-Penrose diagram)**을 사용한다. 등각 변환(conformal transformation)을 통해 무한대를 유한 영역으로 가져오며, 영 측지선은 항상 ±45°\pm 45° 기울기로 나타난다.

슈바르츠실트 시공간의 극대 확장(maximal extension, 크루스칼-세케레스 다이어그램)은 네 개의 영역으로 구성된다:

  • I: 외부 영역 (우리 우주)
  • II: 블랙홀 내부 (미래 특이점)
  • III: 화이트홀 내부 (과거 특이점)
  • IV: 다른 외부 영역 (아인슈타인-로젠 다리)

물리적으로 현실적인 붕괴 시나리오에서는 영역 III과 IV는 나타나지 않는다.