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물리학 강의 노트

개념완성

블랙홀 (Black Hole)

1. 블랙홀의 정의

정의3.1블랙홀

**블랙홀(black hole)**은 사건의 지평선으로 둘러싸인 시공간 영역으로, 그 내부의 어떤 신호도 외부로 탈출할 수 없다. 수학적으로:

B=M∖J−(I+)\mathcal{B} = \mathcal{M} \setminus J^-(\mathscr{I}^+)

즉, 블랙홀은 미래 영 무한대의 인과적 과거에 포함되지 않는 시공간의 영역이다.

블랙홀은 세 가지 매개변수에 의해 완전히 특성화된다:

  • 질량 MM
  • 각운동량 JJ
  • 전하 QQ

이것이 무모(無毛) 정리(no-hair theorem): 블랙홀에는 머리카락이 없다.

2. 블랙홀의 분류

정의3.2블랙홀의 분류

매개변수에 따른 블랙홀 해의 분류:

| 전하 QQ | 각운동량 JJ | 해의 이름 | 발견 연도 | |-----------|-------------|-----------|-----------| | 00 | 00 | 슈바르츠실트(Schwarzschild) | 1916 | | QQ | 00 | 라이스너-노르드스트룀(Reissner-Nordstrom) | 1916-1918 | | 00 | JJ | 커(Kerr) | 1963 | | QQ | JJ | 커-뉴먼(Kerr-Newman) | 1965 |

가장 일반적인 정상 상태(stationary) 블랙홀은 커-뉴먼 해이다. 천체물리학적으로 관측되는 블랙홀은 전하가 빠르게 중성화되므로 커 해로 기술된다.

3. 커 블랙홀

정의3.3커 계량

회전하는 블랙홀을 기술하는 **커 계량(Kerr metric)**은 보이어-린드퀴스트 좌표(Boyer-Lindquist coordinates)에서:

ds2=−(1−rsrΣ)dt2−2rsrasin⁡2θΣ dt dϕ+ΣΔ dr2+Σ dθ2+Asin⁡2θΣ dϕ2ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s r}{\Sigma}\right)dt^2 - \frac{2r_s r a \sin^2\theta}{\Sigma}\,dt\,d\phi + \frac{\Sigma}{\Delta}\,dr^2 + \Sigma\,d\theta^2 + \frac{A\sin^2\theta}{\Sigma}\,d\phi^2

여기서:

Σ=r2+a2cos⁡2θ,Δ=r2−rsr+a2\Sigma = r^2 + a^2\cos^2\theta, \qquad \Delta = r^2 - r_s r + a^2A=(r2+a2)2−a2Δsin⁡2θA = (r^2 + a^2)^2 - a^2\Delta\sin^2\theta

a=J/(Mc)a = J/(Mc)는 단위 질량당 각운동량이다. 외부 지평선과 내부 지평선은:

r±=rs2±(rs2)2−a2=M±M2−a2r_{\pm} = \frac{r_s}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{r_s}{2}\right)^2 - a^2} = M \pm \sqrt{M^2 - a^2}

a≤Ma \leq M일 때만 지평선이 존재하며, a=Ma = M인 경우를 **극한 커 블랙홀(extremal Kerr black hole)**이라 한다.

4. 에르고스피어와 펜로즈 과정

정의3.4에르고스피어

커 블랙홀의 **에르고스피어(ergosphere)**는 정적 한계면(static limit surface) rEr_E와 외부 지평선 r+r_+ 사이의 영역이다:

rE(θ)=M+M2−a2cos⁡2θr_E(\theta) = M + \sqrt{M^2 - a^2\cos^2\theta}

에르고스피어 내부에서 시간 킬링 벡터 ξ(t)μ\xi^\mu_{(t)}는 공간꼴이 되므로, 어떤 관측자도 정지할 수 없다 -- 모든 관측자는 블랙홀의 회전 방향으로 끌려간다(틀 끌림, frame dragging).

유도펜로즈 과정

에르고스피어에서 블랙홀의 회전 에너지를 추출할 수 있다. 에너지 E0E_0인 입자가 에르고스피어 안에서 두 조각으로 분열한다고 하자:

E0=E1+E2E_0 = E_1 + E_2

에르고스피어 내에서 ξ(t)μ\xi^\mu_{(t)}가 공간꼴이므로, E1=−pμξμ<0E_1 = -p_\mu \xi^\mu < 0인 궤적이 존재한다. 이 조각이 블랙홀에 흡수되면:

E2=E0−E1>E0E_2 = E_0 - E_1 > E_0

탈출하는 조각은 원래보다 더 큰 에너지를 가진다. 블랙홀은 질량과 각운동량이 감소한다:

δM=E1<0,δJ=L1<0\delta M = E_1 < 0, \qquad \delta J = L_1 < 0

추출 가능한 최대 에너지는 비가역 질량(irreducible mass) MirrM_{\text{irr}}에 의해 제한된다:

M2=Mirr2+J24Mirr2,Mirr=12r+2+a2M^2 = M_{\text{irr}}^2 + \frac{J^2}{4M_{\text{irr}}^2}, \qquad M_{\text{irr}} = \frac{1}{2}\sqrt{r_+^2 + a^2}

최대 추출 효율은 극한 커 블랙홀에서 약 29%29\%이다.

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5. 블랙홀 열역학

법칙3.1블랙홀 열역학 법칙

블랙홀은 열역학 법칙과 정확히 대응하는 법칙들을 만족한다:

제0법칙: 정상 상태 블랙홀의 표면 중력 κ\kappa는 지평선 위에서 일정하다 (열평형에서 온도가 균일한 것에 대응).

제1법칙:

dM=κ8πG dA+ΩH dJ+ΦH dQdM = \frac{\kappa}{8\pi G}\,dA + \Omega_H\,dJ + \Phi_H\,dQ

여기서 AA는 지평선의 넓이, ΩH\Omega_H는 지평선의 각속도, ΦH\Phi_H는 전기 퍼텐셜이다.

제2법칙 (넓이 정리): 고전적 과정에서 지평선의 넓이는 감소하지 않는다:

δA≥0\delta A \geq 0

제3법칙: 유한 횟수의 물리적 과정으로 κ=0\kappa = 0 (극한 블랙홀)에 도달할 수 없다.

6. 호킹 복사

정의3.5호킹 복사

1974년 호킹(Hawking)은 양자장론을 휘어진 시공간에 적용하여, 블랙홀이 열복사를 방출함을 보였다. **호킹 온도(Hawking temperature)**는:

TH=ℏκ2πckB=ℏc38πGMkBT_H = \frac{\hbar \kappa}{2\pi c k_B} = \frac{\hbar c^3}{8\pi G M k_B}

슈바르츠실트 블랙홀에 대해 수치적으로:

TH≈6.17×10−8(M⊙M) KT_H \approx 6.17 \times 10^{-8} \left(\frac{M_\odot}{M}\right) \text{ K}

이로부터 **베켄슈타인-호킹 엔트로피(Bekenstein-Hawking entropy)**가 확인된다:

SBH=kBc3A4Gℏ=kBA4ℓP2S_{BH} = \frac{k_B c^3 A}{4G\hbar} = \frac{k_B A}{4 \ell_P^2}

여기서 ℓP=Gℏ/c3≈1.616×10−35\ell_P = \sqrt{G\hbar/c^3} \approx 1.616 \times 10^{-35} m은 플랑크 길이이다.

엔트로피가 부피가 아닌 넓이에 비례한다는 사실은 **홀로그래피 원리(holographic principle)**의 기원이 되었다.

참고정보 역설

호킹 복사가 순수하게 열적(thermal)이라면, 블랙홀이 완전히 증발한 후 초기의 순수 양자 상태(pure state)가 혼합 상태(mixed state)로 변환된 것이 되어, 양자역학의 유니터리(unitarity)가 위반된다. 이것이 **블랙홀 정보 역설(black hole information paradox)**이다.

이 문제는 현대 이론물리학의 가장 중요한 미해결 문제 중 하나이며, 끈이론의 미시적 상태 세기, AdS/CFT 대응, 페이지 곡선(Page curve) 등 다양한 접근이 시도되고 있다.