물리학 강의 노트

정의1.1가장 일반적인 구대칭 계량

구대칭이고 정적인 시공간의 가장 일반적인 계량은 다음과 같이 쓸 수 있다:

ds^2 = -e^{2\alpha(r)}dt^2 + e^{2\beta(r)}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)

여기서 $\alpha(r)$ 과 $\beta(r)$ 는 결정해야 할 미지 함수이다. 넓이 좌표(area coordinate)를 사용하여 $g_{\theta\theta} = r^2$ 로 고정하였다.

유도크리스토펠 기호

계량 $g_{\mu\nu} = \text{diag}(-e^{2\alpha}, e^{2\beta}, r^2, r^2\sin^2\theta)$ 에 대해, 영이 아닌 크리스토펠 기호를 계산한다.

\Gamma^t_{\ tr} = \alpha', \qquad \Gamma^r_{\ tt} = \alpha' e^{2(\alpha-\beta)}, \qquad \Gamma^r_{\ rr} = \beta'

\Gamma^r_{\ \theta\theta} = -r e^{-2\beta}, \qquad \Gamma^r_{\ \phi\phi} = -r\sin^2\theta \, e^{-2\beta}

\Gamma^\theta_{\ r\theta} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^\theta_{\ \phi\phi} = -\sin\theta\cos\theta

\Gamma^\phi_{\ r\phi} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^\phi_{\ \theta\phi} = \cot\theta

여기서 프라임 $'$ 은 $r$ 에 대한 도함수를 나타낸다.

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유도리치 텐서 성분

크리스토펠 기호로부터 리치 텐서의 대각 성분을 계산한다:

R_{tt} = e^{2(\alpha-\beta)}\left[\alpha'' + (\alpha')^2 - \alpha'\beta' + \frac{2\alpha'}{r}\right]

R_{rr} = -\alpha'' - (\alpha')^2 + \alpha'\beta' + \frac{2\beta'}{r}

R_{\theta\theta} = e^{-2\beta}\left[r(\beta' - \alpha') - 1\right] + 1

R_{\phi\phi} = R_{\theta\theta} \sin^2\theta

비대각 성분은 모두 영이다.

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유도슈바르츠실트 해의 유도

진공 아인슈타인 방정식 $R_{\mu\nu} = 0$ 의 각 성분을 풀어간다.

단계 1: $R_{tt} = 0$ 과 $R_{rr} = 0$ 을 결합한다.

$e^{-2(\alpha-\beta)} R_{tt} + R_{rr} = 0$ 으로부터:

\frac{2(\alpha' + \beta')}{r} = 0

따라서:

\alpha' + \beta' = 0 \implies \alpha + \beta = C_0 = \text{const}

시간 좌표를 재조정하여 $C_0 = 0$ 으로 놓으면 $\alpha = -\beta$ 이다.

단계 2: $R_{\theta\theta} = 0$ 에 $\alpha = -\beta$ 를 대입한다:

e^{2\alpha}(1 + 2r\alpha') - 1 = 0

이를 변형하면:

\frac{d}{dr}\left(r e^{2\alpha}\right) = 1

단계 3: 적분한다:

r e^{2\alpha} = r - C_1

여기서 $C_1$ 은 적분 상수이다. 따라서:

e^{2\alpha} = 1 - \frac{C_1}{r}

단계 4: 뉴턴 극한에서 적분 상수를 결정한다.

약한 중력장에서 $g_{tt} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)$ 이고, 뉴턴 퍼텐셜 $\Phi = -GM/r$ 이므로:

e^{2\alpha} \approx 1 - \frac{2GM}{c^2 r}

따라서 $C_1 = 2GM/c^2 = r_s$ 이다.

최종 결과: 슈바르츠실트 계량

\boxed{ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2}

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유도슈바르츠실트 해의 검증

얻어진 해가 모든 진공 아인슈타인 방정식을 만족하는지 확인한다.

$e^{2\alpha} = e^{-2\beta} = 1 - r_s/r$ 에서:

\alpha' = \frac{r_s}{2r(r - r_s)}, \qquad \alpha'' = -\frac{r_s(2r - r_s)}{2r^2(r - r_s)^2}

$R_{tt}$ 검증:

R_{tt} = e^{2(\alpha-\beta)}\left[\alpha'' + (\alpha')^2 + \frac{2\alpha'}{r} - \alpha'\beta'\right]

$\beta = -\alpha$ 이므로 $\beta' = -\alpha'$ 이고:

\alpha'' + 2(\alpha')^2 + \frac{2\alpha'}{r} = -\frac{r_s(2r-r_s)}{2r^2(r-r_s)^2} + \frac{r_s^2}{2r^2(r-r_s)^2} + \frac{r_s}{r^2(r-r_s)} = 0

마찬가지로 $R_{rr} = 0$ , $R_{\theta\theta} = 0$ 을 확인할 수 있다.

또한, 이 해의 **크레치만 스칼라(Kretschner scalar)**는:

R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{12 r_s^2}{r^6} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6}

$r = r_s$ 에서 유한하고, $r = 0$ 에서만 발산하므로 원점만이 진정한 물리적 특이점이다.

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예제균질 구의 내부 해

밀도 $\rho$ 가 일정한 구(반지름 $R$ ) 내부에서의 계량은 **내부 슈바르츠실트 해(interior Schwarzschild solution)**라 한다. 정적 완전 유체의 아인슈타인 방정식을 풀면:

ds^2 = -\left[\frac{3}{2}\sqrt{1-\frac{r_s}{R}} - \frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{r_s r^2}{R^3}}\right]^2 c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - r_s r^2/R^3} + r^2 d\Omega^2

내부 압력은:

p(r) = \rho c^2 \cdot \frac{\sqrt{1 - r_s r^2/R^3} - \sqrt{1 - r_s/R}}{3\sqrt{1 - r_s/R} - \sqrt{1 - r_s r^2/R^3}}

중심 압력이 유한하려면 $R > \frac{9}{8}r_s$ 이어야 한다. 이것이 부크달(Buchdahl) 한계이며, 이보다 작은 별은 블랙홀로 붕괴한다.

경계 $r = R$ 에서 내부 해와 외부 슈바르츠실트 해가 매끄럽게 접합되며, $p(R) = 0$ 이 접합 조건이 된다.

슈바르츠실트 해 유도 (Schwarzschild Solution Derivation)