물리학 강의 노트

법칙1.1버코프 정리

버코프 정리(Birkhoff's theorem): 구대칭(spherically symmetric)인 진공( $T_{\mu\nu} = 0$ ) 시공간의 유일한 해는 슈바르츠실트 계량이다.

보다 정확하게:

구대칭인 아인슈타인 진공 방정식 $R_{\mu\nu} = 0$ 의 모든 해는 **정적(static)**이며 **점근적으로 평탄(asymptotically flat)**하고, 슈바르츠실트 계량과 등거리 사상(isometry)에 의해 동치이다.

이는 뉴턴 역학의 셸 정리(shell theorem)에 대응하는 일반상대론적 결과이다.

유도버코프 정리 증명

구대칭 시공간의 가장 일반적인 계량을 다음과 같이 쓸 수 있다:

ds^2 = -e^{2\alpha(t,r)}dt^2 + e^{2\beta(t,r)}dr^2 + r^2 d\Omega^2

여기서 $\alpha$ 와 $\beta$ 는 일반적으로 $t$ 와 $r$ 의 함수이다.

1단계: 진공 아인슈타인 방정식 $R_{\mu\nu} = 0$ 의 성분을 계산한다.

$R_{tr} = 0$ 성분으로부터:

\frac{2\dot{\beta}}{r} = 0 \implies \dot{\beta} = 0

따라서 $\beta = \beta(r)$ , 즉 $\beta$ 는 시간에 의존하지 않는다.

2단계: $R_{\theta\theta} = 0$ 으로부터:

e^{-2\beta}(r\beta' - r\alpha' - 1) + 1 = 0

3단계: $R_{tt} = 0$ 과 $R_{rr} = 0$ 의 적절한 조합으로부터:

\alpha' + \beta' = 0 \implies \alpha + \beta = f(t)

$t$ 의 재정의 $dt' = e^{f(t)}dt$ 에 의해 $\alpha = -\beta(r)$ 로 놓을 수 있다.

4단계: 2단계의 결과와 결합하면:

\frac{d}{dr}\left[r(1 - e^{-2\beta})\right] = 0

적분하면:

r(1 - e^{-2\beta}) = C = \text{const}

따라서:

e^{-2\beta} = 1 - \frac{C}{r}, \qquad e^{2\alpha} = 1 - \frac{C}{r}

뉴턴 극한에서 $C = 2GM/c^2 = r_s$ 로 동정된다.

결론적으로 계량은:

ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)dt'^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2

이는 $t$ 에 의존하지 않는 정적 계량이다. $\blacksquare$

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참고핵심적 함의

버코프 정리의 핵심적 물리적 함의들:

정적성의 자동 성립: 구대칭 진공해는 "정적"이라는 가정 없이도 자동으로 정적이다. 이는 뉴턴 역학에서 구대칭 질량 분포 외부의 중력장이 질량의 반경 방향 운동에 무관한 것과 유사하다.
구대칭 중력파의 부재: 시간에 의존하는 구대칭 물질 분포(예: 맥동하는 별)라도, 외부 진공 영역은 정적 슈바르츠실트 해이다. 따라서 구대칭 중력파는 존재하지 않는다. 중력파 방출에는 최소한 사중극(quadrupole) 변형이 필요하다.
유일성: 주어진 질량 $M$ 에 대해 구대칭 진공해는 유일하다. 물질의 내부 분포와 무관하게 외부 시공간은 동일한 슈바르츠실트 계량이다.

예제오펜하이머-스나이더 붕괴

균질한 먼지 구(uniform dust ball)의 중력 붕괴를 고려하자. 버코프 정리에 의해:

경계면에서 두 계량이 매끄럽게 접합(junction)된다. 이 모형은 1939년 오펜하이머(Oppenheimer)와 스나이더(Snyder)가 블랙홀 형성을 처음으로 분석한 것이다.

내부 FRW 계량은 ( $k = +1$ , 폐쇄 우주):

ds^2 = -d\tau^2 + a(\tau)^2\left[\frac{d\chi^2}{1-\chi^2} + \chi^2 d\Omega^2\right]

스케일 인자 $a(\tau)$ 는 시간이 지남에 따라 $0$ 으로 수축하며, 이때 밀도가 무한대로 발산하여 특이점이 형성된다.

참고한계와 일반화

버코프 정리는 몇 가지 중요한 한계가 있다:

진공 조건: 물질이 존재하면 정리가 적용되지 않는다. 내부 해는 물질의 상태 방정식에 의존한다.
구대칭 가정: 축대칭(axisymmetry)으로 일반화하면, 커 해가 유일한 정상 상태 진공해라는 것은 **무모 정리(no-hair theorem)**에 의해 보장되지만, 시간 의존 축대칭 해는 정적이 아닐 수 있다(중력파 방출).
우주상수: $\Lambda \neq 0$ 일 때 구대칭 진공해는 슈바르츠실트-드 시터(Schwarzschild-de Sitter) 계량이다:

ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r} - \frac{\Lambda r^2}{3}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r} - \frac{\Lambda r^2}{3}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2

버코프 정리는 이러한 경우들에도 적절히 수정하여 일반화된다.

예제뉴턴 셸 정리와의 대응

뉴턴 중력에서 셸 정리(shell theorem):

일반상대론에서 버코프 정리는 이를 강화한다:

셸 정리의 두 번째 결과는 뉴턴 역학에서는 자명하지만, 일반상대론에서는 비자명(non-trivial)한 결과이다. 비선형 이론에서 내부와 외부 해의 중첩이 일반적으로 성립하지 않기 때문이다.

버코프 정리 (Birkhoff's Theorem)