물리학 강의 노트

정의1.1선형화된 계량

**선형화된 중력(linearized gravity)**은 계량이 민코프스키 배경에 대한 작은 섭동인 경우의 근사 이론이다:

g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \qquad |h_{\mu\nu}| \ll 1

여기서 $\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-1,+1,+1,+1)$ 은 민코프스키 계량이고, $h_{\mu\nu}$ 는 **계량 섭동(metric perturbation)**이다.

1차 근사에서 지표의 올리기/내리기는 $\eta_{\mu\nu}$ 로 수행한다:

h^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha}\eta^{\nu\beta}h_{\alpha\beta}, \qquad h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}

유도선형화된 장방정식

$h_{\mu\nu}$ 의 1차까지 크리스토펠 기호를 계산하면:

\Gamma^{(1)\lambda}_{\ \ \mu\nu} = \frac{1}{2}\eta^{\lambda\sigma}(\partial_\mu h_{\nu\sigma} + \partial_\nu h_{\mu\sigma} - \partial_\sigma h_{\mu\nu})

1차 리치 텐서:

R^{(1)}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}(-\Box h_{\mu\nu} + \partial_\mu \partial^\lambda h_{\lambda\nu} + \partial_\nu \partial^\lambda h_{\lambda\mu} - \partial_\mu \partial_\nu h)

여기서 $\Box = -\partial_t^2 + \nabla^2$ 는 달랑베르 연산자이다.

**흔적 반전 섭동(trace-reversed perturbation)**을 정의한다:

\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h

선형화된 아인슈타인 텐서는:

G^{(1)}_{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\left(\Box\bar{h}_{\mu\nu} + \eta_{\mu\nu}\partial^\alpha\partial^\beta\bar{h}_{\alpha\beta} - \partial_\mu\partial^\alpha\bar{h}_{\nu\alpha} - \partial_\nu\partial^\alpha\bar{h}_{\mu\alpha}\right)

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정의1.2게이지 변환

무한소 좌표 변환 $x^\mu \to x^\mu + \xi^\mu$ ( $|\xi^\mu| \ll 1$ )에서 계량 섭동은 다음과 같이 변환된다:

h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} - \partial_\mu \xi_\nu - \partial_\nu \xi_\mu

이는 전자기학에서의 게이지 변환 $A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \Lambda$ 의 중력 버전이다.

흔적 반전 섭동에 대해:

\bar{h}_{\mu\nu} \to \bar{h}_{\mu\nu} - \partial_\mu \xi_\nu - \partial_\nu \xi_\mu + \eta_{\mu\nu}\partial_\alpha\xi^\alpha

정의1.3로렌츠 게이지

로렌츠 게이지(Lorenz gauge) (또는 드 동데르 게이지, de Donder gauge)는:

\partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu} = 0

이 조건은 $\Box \xi_\nu = \partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu}$ 를 만족하는 $\xi_\nu$ 를 항상 찾을 수 있으므로 도달 가능하다.

로렌츠 게이지에서 선형화된 아인슈타인 방정식은 극적으로 단순화된다:

\Box \bar{h}_{\mu\nu} = -16\pi G \, T_{\mu\nu}

이것은 $\bar{h}_{\mu\nu}$ 의 각 성분에 대한 **파동 방정식(wave equation)**이다.

유도중력 평면파

진공( $T_{\mu\nu} = 0$ )에서:

\Box \bar{h}_{\mu\nu} = 0

평면파 해:

\bar{h}_{\mu\nu} = A_{\mu\nu} e^{ik_\alpha x^\alpha}

파동 방정식으로부터 $k^\alpha k_\alpha = 0$ , 즉 중력파는 빛의 속도로 전파된다.

로렌츠 게이지 조건 $\partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu} = 0$ 으로부터:

k^\mu A_{\mu\nu} = 0

이 조건은 진폭 텐서 $A_{\mu\nu}$ 의 10개 성분 중 4개를 제거한다.

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정의1.4횡 무흔적 게이지

로렌츠 게이지 내에서 추가적인 게이지 자유도를 이용하여 **횡 무흔적 게이지(transverse-traceless gauge, TT gauge)**를 선택할 수 있다:

h_{0\mu}^{TT} = 0, \qquad h^{TT} = \eta^{\mu\nu}h^{TT}_{\mu\nu} = 0, \qquad \partial^j h^{TT}_{ij} = 0

TT 게이지에서 $\bar{h}_{\mu\nu}^{TT} = h_{\mu\nu}^{TT}$ (흔적이 영이므로).

$z$ 방향으로 전파하는 평면파의 경우, 영이 아닌 성분은:

h^{TT}_{ij} = \begin{pmatrix} h_+ & h_\times & 0 \\ h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} e^{i(kz - \omega t)}

여기서 $h_+$ 와 $h_\times$ 는 두 개의 독립적인 **편광 모드(polarization modes)**이다:

예제중력파의 물리적 효과

TT 게이지에서, 자유 낙하하는 시험 입자의 좌표는 변하지 않는다. 그러나 두 입자 사이의 **고유 거리(proper distance)**는 변한다.

$x$ 축을 따라 거리 $L$ 만큼 떨어진 두 입자 사이의 고유 거리 변화 ( $+$ 편광, $z$ 방향 전파):

\delta L = \frac{1}{2} h_+ L \cos(\omega t)

변형률(strain):

h \equiv \frac{\delta L}{L} = \frac{1}{2}h_+

LIGO에서 검출한 첫 중력파 신호 GW150915의 최대 변형률은 $h \sim 10^{-21}$ 이었다. 4 km 팔 길이에 대해 $\delta L \sim 4 \times 10^{-18}$ m, 양성자 지름의 약 $1/1000$ 이다.

측지선 편차 방정식으로부터, TT 게이지에서 인접 입자의 상대 가속도는:

\ddot{\xi}^i = -R^i_{\ 0j0} \xi^j = \frac{1}{2}\ddot{h}^{TT}_{ij}\xi^j

이는 중력파가 조석력의 형태로 물질에 작용함을 보여준다.

선형화된 중력 (Linearized Gravity)