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물리학 강의 노트

개념완성

중력파 (Gravitational Wave)

1. 중력파의 기본 개념

정의2.1중력파

**중력파(gravitational wave)**는 시공간 곡률의 파동적 섭동으로, 빛의 속도로 전파된다. 가속하는 질량 분포에 의해 생성되며, 선형화된 아인슈타인 방정식의 진공 해로 기술된다:

□hˉμν=0\Box \bar{h}_{\mu\nu} = 0

중력파는 **횡파(transverse wave)**이며, 두 개의 독립적인 편광 상태 h+h_+와 h×h_\times를 가진다. 이는 중력자(graviton)의 스핀-2 성질에 대응하며, 전자기파의 두 편광(스핀-1)과 대비된다.

2. 중력파의 생성

정의2.2중력파의 원천

로렌츠 게이지에서 선형화된 장방정식의 원천이 있는 경우:

□hˉμν=−16πG Tμν\Box \bar{h}_{\mu\nu} = -16\pi G \, T_{\mu\nu}

지연 퍼텐셜(retarded potential)로 해를 구하면:

hˉμν(t,x)=4G∫Tμν(tret,x′)∣x−x′∣d3x′\bar{h}_{\mu\nu}(t, \mathbf{x}) = 4G \int \frac{T_{\mu\nu}(t_{\text{ret}}, \mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x} - \mathbf{x}'\right|} d^3x'

여기서 tret=t−∣x−x′∣/ct_{\text{ret}} = t - |\mathbf{x} - \mathbf{x}'|/c는 지연 시간이다.

원천에서 멀리 떨어진 원거리장(far field)에서, 느린 운동 근사(v≪cv \ll c)를 적용하면, 공간 성분은 **질량 사중극 모멘트(mass quadrupole moment)**의 2차 시간 도함수로 표현된다.

3. 에너지 수송

정의2.3아이작슨 에너지-운동량 텐서

중력파가 수송하는 에너지를 정의하기 위해, 계량을 배경과 고주파 섭동으로 분리한다: gμν=gμν(B)+hμνg_{\mu\nu} = g^{(B)}_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}.

**아이작슨 에너지-운동량 텐서(Isaacson stress-energy tensor)**는:

TμνGW=132πG⟨∂μhαβTT ∂νhTTαβ⟩T^{GW}_{\mu\nu} = \frac{1}{32\pi G}\left\langle \partial_\mu h_{\alpha\beta}^{TT} \, \partial_\nu h^{TT\alpha\beta} \right\rangle

여기서 ⟨⋯ ⟩\langle \cdots \rangle는 여러 파장에 걸친 공간적 평균이다.

에너지 유속(단위 면적당 단위 시간당 에너지)은:

F=c332πG⟨h˙+2+h˙×2⟩F = \frac{c^3}{32\pi G}\left\langle \dot{h}_+^2 + \dot{h}_\times^2 \right\rangle

4. 중력파 광도

유도중력파 광도

전체 중력파 광도(luminosity), 즉 단위 시간당 방출되는 총 에너지는:

P=−dEdt=G5c5⟨Q...ijQ...ij⟩P = -\frac{dE}{dt} = \frac{G}{5c^5}\left\langle \dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}^{ij} \right\rangle

여기서 QijQ_{ij}는 **축소 사중극 모멘트(reduced quadrupole moment)**이다:

Qij=∫ρ(xixj−13δijr2)d3xQ_{ij} = \int \rho\left(x_i x_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}r^2\right)d^3x

이 공식에서 핵심적인 상수는:

G5c5=15⋅Gc5≈2.63×10−53 W−1\frac{G}{5c^5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{G}{c^5} \approx 2.63 \times 10^{-53} \text{ W}^{-1}

이 극도로 작은 계수가 중력파 검출의 어려움을 반영한다.

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5. 천체물리학적 중력파 원천

예제주요 중력파 원천

쌍성계의 나선 운동(inspiral): 두 컴팩트 천체(블랙홀, 중성자별)의 궤도 운동에 의해 중력파가 방출되며, 에너지 손실로 궤도가 수축한다.

원형 궤도(M1=M2=MM_1 = M_2 = M, 궤도 반지름 aa)에서:

P=128G4M55c5a5P = \frac{128 G^4 M^5}{5 c^5 a^5}

궤도 수축률:

dadt=−256G3M35c5a3\frac{da}{dt} = -\frac{256 G^3 M^3}{5 c^5 a^3}

합체까지의 시간:

τ=5c5a04512G3M3\tau = \frac{5 c^5 a_0^4}{512 G^3 M^3}

헐스-테일러 펄서(Hulse-Taylor pulsar, PSR B1913+16): 1974년 발견된 쌍성 펄서 시스템에서 관측된 궤도 주기 감소율이 중력파 방출에 의한 예측과 0.2%0.2\% 이내로 일치하였다. 이것은 중력파의 최초의 간접적 증거였다.

GW150915: 2015년 LIGO에 의해 최초로 직접 검출된 중력파로, 약 36 M⊙M_\odot과 29 M⊙M_\odot의 블랙홀 쌍성 합체에서 발생하였다. 합체 과정에서 약 3 M⊙c2M_\odot c^2의 에너지가 중력파로 방출되었다.

6. 중력파 검출

참고간섭계 검출 원리

**레이저 간섭계 중력파 관측소(LIGO, Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory)**의 원리:

L자 형태의 두 팔(각 4 km)에 레이저를 보내 왕복시킨 후 간섭 무늬를 관측한다. 중력파가 지나가면 두 팔의 길이가 차등적으로 변하여 간섭 무늬가 변한다.

++ 편광 중력파가 zz 방향으로 입사하면:

  • xx 방향 팔: δLx=+12h+L\delta L_x = +\frac{1}{2}h_+ L
  • yy 방향 팔: δLy=−12h+L\delta L_y = -\frac{1}{2}h_+ L

팔 길이 차이:

ΔL=δLx−δLy=h+L\Delta L = \delta L_x - \delta L_y = h_+ L

LIGO의 설계 감도는 h∼10−23h \sim 10^{-23} (100 Hz 부근)이며, 이는 ΔL∼10−19\Delta L \sim 10^{-19} m에 해당한다.

차세대 검출기로는 지상의 Einstein Telescope, Cosmic Explorer, 그리고 우주 기반의 LISA(Laser Interferometer Space Antenna)가 계획/건설 중이다. LISA는 10−410^{-4}-10−110^{-1} Hz 대역의 중력파(초대질량 블랙홀 합체 등)를 검출할 예정이다.