물리학 강의 노트

법칙1.1사중극 복사 공식

느린 운동( $v \ll c$ )하는 물질 분포에 의해 생성되는 중력파는, 원거리장에서 질량 사중극 모멘트의 2차 시간 도함수에 의해 결정된다:

h_{ij}^{TT}(t, \mathbf{x}) = \frac{2G}{c^4 R} \ddot{Q}_{ij}^{TT}(t_{\text{ret}})

여기서 $R = |\mathbf{x}|$ 는 원천까지의 거리, $t_{\text{ret}} = t - R/c$ 는 지연 시간이다.

축소 사중극 모멘트(reduced quadrupole moment):

Q_{ij} = \int \rho(\mathbf{x}, t)\left(x_i x_j - \frac{1}{3}\delta_{ij} r^2\right) d^3x

상첨자 $TT$ 는 횡 무흔적(TT) 사영을 나타내며, 사영 연산자 $\Lambda_{ij,kl}$ 을 통해:

Q_{ij}^{TT} = \Lambda_{ij,kl} \, Q_{kl}

유도사중극 공식 유도

로렌츠 게이지에서 선형화된 장방정식의 해:

\bar{h}_{ij}(t, \mathbf{x}) = \frac{4G}{c^4} \int \frac{T_{ij}(t_{\text{ret}}, \mathbf{x}')}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}\,d^3x'

느린 운동 근사: 원천의 크기 $d \ll \lambda$ (파장)이면, 원거리장에서 $|\mathbf{x} - \mathbf{x}'| \approx R$ 으로 근사할 수 있다:

\bar{h}_{ij} \approx \frac{4G}{c^4 R}\int T_{ij}(t_{\text{ret}}, \mathbf{x}')\,d^3x'

핵심 단계는 $\int T_{ij}\,d^3x$ 를 질량 사중극 모멘트로 변환하는 것이다. 에너지-운동량 보존 $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$ 을 이용한다.

$\partial_0 T^{00} + \partial_k T^{k0} = 0$ 에서:

\int T^{00} x^i x^j \, d^3x = \frac{1}{c^2}\frac{d^2}{dt^2}\int T^{00} x^i x^j \, d^3x \cdot (\text{부분적분 2회})

정확하게는:

\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2}\int T^{00} x^i x^j \, d^3x = \int T^{ij}\,d^3x

따라서:

\int T_{ij}\,d^3x = \frac{1}{2}\ddot{I}_{ij}

여기서 $I_{ij} = \frac{1}{c^2}\int T^{00} x^i x^j \, d^3x$ 는 **2차 질량 모멘트(second mass moment)**이다.

흔적 부분을 빼면:

\bar{h}_{ij} = \frac{2G}{c^4 R}\ddot{Q}_{ij}(t_{\text{ret}})

TT 사영을 적용하면 최종 사중극 공식을 얻는다.

■

정의1.2TT 사영 연산자

전파 방향 $\hat{n}$ 에 대한 **TT 사영 연산자(TT projection operator)**는:

\Lambda_{ij,kl}(\hat{n}) = P_{ik}P_{jl} - \frac{1}{2}P_{ij}P_{kl}

여기서 $P_{ij} = \delta_{ij} - n_i n_j$ 는 $\hat{n}$ 에 수직한 면으로의 사영이다.

$\hat{n} = \hat{z}$ 일 때:

\Lambda_{ij,kl} = \begin{cases} \text{특정 성분만 선택하여} \\ h_{xx}^{TT} = \frac{1}{2}(Q_{xx} - Q_{yy}), \quad h_{xy}^{TT} = Q_{xy} \end{cases}

편광 진폭은:

h_+ = \frac{G}{c^4 R}(\ddot{Q}_{xx} - \ddot{Q}_{yy}), \qquad h_\times = \frac{2G}{c^4 R}\ddot{Q}_{xy}

법칙1.2아인슈타인 사중극 공식

전 방향에 대해 적분한 중력파 **총 광도(total luminosity)**는:

P = -\frac{dE}{dt} = \frac{G}{5c^5}\left\langle \dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}_{ij}\right\rangle

이것이 **아인슈타인 사중극 공식(Einstein quadrupole formula)**이다.

구체적으로:

P = \frac{G}{5c^5}\sum_{i,j}\left\langle\left(\frac{d^3 Q_{ij}}{dt^3}\right)^2\right\rangle

전자기 복사와의 비교:

전자기 복사: 쌍극(dipole) $\sim \ddot{d}_i \ddot{d}_i$ (전하 보존이 단극 복사를 금지)
중력파 복사: 사중극(quadrupole) $\sim \dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}_{ij}$ (질량과 운동량 보존이 단극과 쌍극 복사를 금지)

예제원형 쌍성계의 중력파

질량 $m_1, m_2$ 인 두 천체가 반지름 $a$ 의 원형 궤도를 도는 경우, 궤도면을 $xy$ 평면으로 택하면:

축소 사중극 모멘트의 성분:

Q_{xx} = \frac{1}{2}\mu a^2 \cos 2\Omega t, \quad Q_{yy} = -\frac{1}{2}\mu a^2 \cos 2\Omega t, \quad Q_{xy} = \frac{1}{2}\mu a^2 \sin 2\Omega t

여기서 $\mu = m_1 m_2/(m_1+m_2)$ 는 환산 질량, $\Omega$ 는 궤도 각진동수이다.

중력파 진동수는 궤도 진동수의 2배이다: $f_{GW} = 2f_{\text{orb}}$ .

중력파 광도:

P = \frac{32 G^4}{5 c^5}\frac{(m_1 m_2)^2(m_1 + m_2)}{a^5}

처프 질량(chirp mass) $\mathcal{M} = \frac{(m_1 m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}$ 을 정의하면, 중력파 진동수의 시간 변화율은:

\dot{f} = \frac{96}{5}\pi^{8/3}\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^3}\right)^{5/3}f^{11/3}

이로부터 중력파 파형을 관측하여 처프 질량을 직접 측정할 수 있다.

예제헐스-테일러 쌍성 펄서의 궤도 감쇠

PSR B1913+16 (헐스-테일러 펄서)은 1974년에 발견된 쌍성 펄서 시스템으로, 다음 매개변수를 가진다:

궤도 주기: $P_b = 7.75$ 시간
이심률: $e = 0.617$
총 질량: $m_1 + m_2 \approx 2.83 M_\odot$

사중극 공식에 의한 궤도 주기 감소 예측:

\dot{P}_b = -\frac{192\pi}{5}\left(\frac{2\pi G\mathcal{M}}{c^3 P_b}\right)^{5/3}\frac{1}{(1-e^2)^{7/2}}\left(1 + \frac{73}{24}e^2 + \frac{37}{96}e^4\right)

이론 예측: $\dot{P}_b = -2.402531 \times 10^{-12}$ s/s

관측값: $\dot{P}_b = -2.4056 \times 10^{-12}$ s/s

30년 이상의 관측에서 이론과 관측의 일치는 $0.2\%$ 이내이며, 이것은 일반상대론의 가장 정밀한 검증 중 하나이자 중력파 존재의 간접적 증명이다. 이 발견으로 헐스(Hulse)와 테일러(Taylor)는 1993년 노벨 물리학상을 수상하였다.

사중극 복사 공식 (Quadrupole Radiation Formula)

1. 사중극 공식

2. 사중극 공식의 유도

3. TT 사영

4. 중력파 광도 (아인슈타인 사중극 공식)

5. 쌍성계에의 적용

6. 헐스-테일러 펄서