물리학 강의 노트

정의1.1우주론적 원리

우주론적 원리(cosmological principle): 충분히 큰 스케일에서 우주는 **공간적으로 균질(homogeneous)**하고 **등방(isotropic)**하다.

수학적으로, 이는 공간적 초곡면 $\Sigma_t$ 가 극대 대칭 공간(maximally symmetric space), 즉 $n(n+1)/2 = 6$ 개의 킬링 벡터를 가지는 3차원 공간임을 의미한다.

정의1.2FRW 계량

프리드만-로버트슨-워커(Friedmann-Robertson-Walker, FRW) 계량은 균질 등방 우주를 기술하는 가장 일반적인 계량이다:

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)\right]

여기서:

$a(t)$ : 스케일 인자(scale factor) -- 우주의 "크기"를 나타내는 무차원 함수
$k$ $k$ : 공간 곡률 매개변수(spatial curvature parameter)
- $k = +1$ : 양의 곡률 (폐쇄 우주, 3차원 구)
- $k = 0$ : 영 곡률 (평탄 우주, 유클리드 공간)
- $k = -1$ : 음의 곡률 (개방 우주, 쌍곡 공간)
$t$ : 우주 시간(cosmic time) -- 공동운동 관측자의 고유시간

$r$ 은 **공동운동 좌표(comoving coordinate)**로, 우주 팽창과 함께 움직이는 관측자에 대해 일정하다.

정의1.33차원 극대 대칭 공간

각 $k$ 값에 대한 공간적 기하학:

$k = +1$ (닫힌 우주): 3차원 구 $S^3$ . 유한한 부피 $V = 2\pi^2 a^3$ . $\chi = \sin^{-1}r$ 좌표에서:

d\Sigma^2 = a^2[d\chi^2 + \sin^2\chi \, d\Omega^2], \quad 0 \leq \chi \leq \pi

$k = 0$ (평탄 우주): $\mathbb{R}^3$ . 무한한 부피.

d\Sigma^2 = a^2[d\chi^2 + \chi^2 d\Omega^2], \quad 0 \leq \chi < \infty

$k = -1$ (열린 우주): 쌍곡 공간 $H^3$ . 무한한 부피. $\chi = \sinh^{-1}r$ 좌표에서:

d\Sigma^2 = a^2[d\chi^2 + \sinh^2\chi \, d\Omega^2], \quad 0 \leq \chi < \infty

통합하면:

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2\left[d\chi^2 + S_k^2(\chi)\,d\Omega^2\right]

여기서 $S_k(\chi) = \sin\chi$ , $\chi$ , $\sinh\chi$ (각각 $k = +1, 0, -1$ ).

정의1.4허블 매개변수

**허블 매개변수(Hubble parameter)**는 우주 팽창의 순간적 비율이다:

H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}

현재( $t = t_0$ )의 값을 허블 상수(Hubble constant) $H_0 = H(t_0)$ 라 한다:

H_0 \approx 67.4 \pm 0.5 \text{ km/s/Mpc} \approx 2.18 \times 10^{-18} \text{ s}^{-1}

대응하는 허블 시간과 허블 거리:

t_H = H_0^{-1} \approx 14.5 \text{ Gyr}, \qquad d_H = c/H_0 \approx 4.4 \text{ Gpc}

정의1.5우주론적 적색편이

먼 은하에서 방출된 빛의 파장이 우주 팽창에 의해 늘어나는 현상이 **우주론적 적색편이(cosmological redshift)**이다:

1 + z = \frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{emit}}} = \frac{a(t_0)}{a(t_{\text{emit}})}

보통 현재의 스케일 인자를 $a(t_0) = 1$ 로 규격화하면:

a(t_{\text{emit}}) = \frac{1}{1+z}

적색편이 $z$ 는 관측 가능한 양이며, 천체까지의 거리와 되돌아보기 시간(lookback time)의 척도가 된다.

유도FRW 곡률 텐서

$k = 0$ 인 평탄 FRW 계량 $ds^2 = -dt^2 + a^2(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ 에 대해 (자연단위계):

영이 아닌 크리스토펠 기호:

\Gamma^0_{ij} = a\dot{a}\,\delta_{ij}, \qquad \Gamma^i_{0j} = \frac{\dot{a}}{a}\delta^i_j = H\delta^i_j

리치 텐서:

R_{00} = -3\frac{\ddot{a}}{a}

R_{ij} = \left(a\ddot{a} + 2\dot{a}^2 + 2\frac{k}{a^2}\cdot a^2\right)\delta_{ij} = (a\ddot{a} + 2\dot{a}^2 + 2k)\delta_{ij}

리치 스칼라:

R = 6\left[\frac{\ddot{a}}{a} + \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 + \frac{k}{a^2}\right] = 6\left[\frac{\ddot{a}}{a} + H^2 + \frac{k}{a^2}\right]

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참고우주론에서의 다양한 거리 개념

팽창하는 우주에서 "거리"는 여러 가지 의미를 가진다:

공동운동 거리(comoving distance):

d_C = \int_0^r \frac{dr'}{\sqrt{1-kr'^2}} = \int_{t_{\text{emit}}}^{t_0} \frac{c\,dt'}{a(t')} = c\int_0^z \frac{dz'}{H(z')}

고유 거리(proper distance): $d_P(t) = a(t) \cdot d_C$

광도 거리(luminosity distance): $d_L = (1+z) \cdot d_C$

각지름 거리(angular diameter distance): $d_A = \frac{d_C}{1+z} = \frac{d_L}{(1+z)^2}$

이 관계들은 에테링턴 호혜 정리(Etherington reciprocity theorem) $d_L = (1+z)^2 d_A$ 로 연결된다.

광도 거리는 Ia형 초신성 등의 "표준 촛불"로 측정되고, 각지름 거리는 우주 마이크로파 배경 복사의 음향 피크로 측정된다. 이들을 통해 우주의 팽창사를 재구성한다.

FRW 계량 (Friedmann-Robertson-Walker Metric)