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물리학 강의 노트

개념완성

허블 법칙 (Hubble's Law)

1. 허블의 발견

1929년 에드윈 허블(Edwin Hubble)은 먼 은하들의 후퇴 속도가 거리에 비례한다는 관측적 사실을 발견하였다. 이것이 우주 팽창의 최초의 관측적 증거이다.

정의2.1허블 법칙

허블 법칙(Hubble's law) 또는 허블-르메트르 법칙(Hubble-Lemaitre law):

v=H0dv = H_0 d

여기서:

  • vv: 은하의 후퇴 속도
  • dd: 은하까지의 거리
  • H0H_0: 허블 상수

이 법칙은 적색편이가 작은 (z≪1z \ll 1) 경우에 정확하며, FRW 우주론에서 자연스럽게 유도된다.

2. FRW 계량으로부터의 유도

유도허블 법칙의 유도

FRW 우주에서 공동운동 좌표 χ\chi에 위치한 은하까지의 고유 거리는:

d(t)=a(t)⋅χd(t) = a(t) \cdot \chi

공동운동 좌표 χ\chi는 시간에 무관하므로, 고유 거리의 시간 변화율은:

d˙=a˙⋅χ=a˙a⋅(aχ)=H(t)⋅d(t)\dot{d} = \dot{a} \cdot \chi = \frac{\dot{a}}{a} \cdot (a\chi) = H(t) \cdot d(t)

따라서 후퇴 속도 v=d˙v = \dot{d}에 대해:

v=H(t) dv = H(t) \, d

이것이 FRW 우주론에서의 허블 법칙이다. 허블 상수 H0H_0는 현재 시점의 H(t0)H(t_0)이다.

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참고초광속 후퇴

허블 법칙 v=H0dv = H_0 d에 의하면, 허블 거리 dH=c/H0d_H = c/H_0보다 먼 은하의 후퇴 속도는 빛의 속도를 초과한다. 이것은 특수상대론을 위반하는 것이 아니다:

  1. 후퇴 "속도"는 은하의 국소적 운동이 아니라 공간 자체의 팽창이다
  2. 특수상대론의 속도 제한은 국소적으로 적용되며, 이 경우 공간의 각 점은 국소적으로 빛의 속도 이하로 움직인다
  3. 현재 관측 가능한 우주의 가장자리(z≈1100z \approx 1100)의 현재 후퇴 속도는 약 3c3c이다

3. 적색편이-거리 관계

정의2.2적색편이와 허블 법칙의 일반화

작은 적색편이에서 z≈v/cz \approx v/c (비상대론적 도플러 효과)이므로:

cz=H0dcz = H_0 d

큰 적색편이에서는 일반적인 적색편이-광도 거리 관계를 사용해야 한다. 테일러 전개하면:

dL(z)=cH0[z+12(1−q0)z2+⋯ ]d_L(z) = \frac{c}{H_0}\left[z + \frac{1}{2}(1 - q_0)z^2 + \cdots\right]

여기서 감속 매개변수(deceleration parameter) q0q_0는:

q0=−a¨aa˙2∣t0=−a¨aH2∣t0q_0 = -\frac{\ddot{a}a}{\dot{a}^2}\bigg|_{t_0} = -\frac{\ddot{a}}{aH^2}\bigg|_{t_0}

q0>0q_0 > 0이면 팽창이 감속, q0<0q_0 < 0이면 가속 팽창이다.

4. 허블 상수의 측정

예제허블 상수 측정 방법

허블 상수 H0H_0의 주요 측정 방법들:

거리 사다리(distance ladder) 방법:

  1. 시차(parallax)로 가까운 별들의 거리 측정
  2. 세페이드 변광성(Cepheid variable)의 주기-광도 관계 보정
  3. Ia형 초신성을 이용하여 먼 은하까지 확장

최근 결과 (SH0ES 팀, 2022): H0=73.04±1.04H_0 = 73.04 \pm 1.04 km/s/Mpc

우주 마이크로파 배경(CMB) 방법: Planck 위성이 측정한 CMB의 이방성 스펙트럼을 Λ\LambdaCDM 모형으로 적합하면:

H0=67.4±0.5H_0 = 67.4 \pm 0.5 km/s/Mpc

이 두 측정값 사이의 ∼5σ\sim 5\sigma 불일치를 **허블 텐션(Hubble tension)**이라 하며, 새로운 물리의 단서일 가능성이 제기되고 있다.

5. 감속과 가속

정의2.3우주 팽창의 가속

1998년 펄머터(Perlmutter)와 리스(Riess)의 두 연구팀은 먼 Ia형 초신성 관측을 통해 우주 팽창이 가속하고 있음을 발견하였다 (2011년 노벨 물리학상).

관측된 감속 매개변수:

q0≈−0.55q_0 \approx -0.55

이는 우주상수 Λ\Lambda 또는 **암흑 에너지(dark energy)**의 존재를 시사한다. 현재의 Λ\LambdaCDM 모형에서:

q0=12Ωm,0−ΩΛ,0≈12(0.3)−0.7=−0.55q_0 = \frac{1}{2}\Omega_{m,0} - \Omega_{\Lambda,0} \approx \frac{1}{2}(0.3) - 0.7 = -0.55

여기서 Ωm,0≈0.3\Omega_{m,0} \approx 0.3은 물질 밀도 매개변수, ΩΛ,0≈0.7\Omega_{\Lambda,0} \approx 0.7은 암흑 에너지 밀도 매개변수이다.

6. 우주의 나이

유도우주의 나이

스케일 인자의 시간 발전으로부터 우주의 나이를 계산한다:

t0=∫0t0dt=∫0∞dz(1+z)H(z)t_0 = \int_0^{t_0} dt = \int_0^\infty \frac{dz}{(1+z)H(z)}

허블 매개변수의 일반적 표현:

H(z)=H0Ωr,0(1+z)4+Ωm,0(1+z)3+Ωk,0(1+z)2+ΩΛ,0H(z) = H_0\sqrt{\Omega_{r,0}(1+z)^4 + \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{k,0}(1+z)^2 + \Omega_{\Lambda,0}}

여기서:

  • Ωr,0\Omega_{r,0}: 복사 밀도 매개변수 (≈9×10−5\approx 9 \times 10^{-5})
  • Ωm,0\Omega_{m,0}: 물질 밀도 매개변수 (≈0.31\approx 0.31)
  • Ωk,0=−k/(a0H0)2\Omega_{k,0} = -k/(a_0 H_0)^2: 곡률 매개변수 (≈0\approx 0)
  • ΩΛ,0\Omega_{\Lambda,0}: 암흑 에너지 밀도 매개변수 (≈0.69\approx 0.69)

합 조건: Ωr,0+Ωm,0+Ωk,0+ΩΛ,0=1\Omega_{r,0} + \Omega_{m,0} + \Omega_{k,0} + \Omega_{\Lambda,0} = 1

수치 적분 결과:

t0≈13.8 Gyr≈0.95 H0−1t_0 \approx 13.8 \text{ Gyr} \approx 0.95 \, H_0^{-1}

이것은 Planck 위성 관측과 일치하는 결과이다.

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