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물리학 강의 노트

유도완성

프리드만 방정식 유도 (Friedmann Equations Derivation)

1. 출발점

FRW 계량과 완전 유체 에너지-운동량 텐서로부터 아인슈타인 방정식을 풀어 프리드만 방정식을 유도한다.

정의1.1출발 계량과 에너지-운동량 텐서

FRW 계량 (자연단위계 c=1c = 1):

ds2=−dt2+a(t)2[dr21−kr2+r2dΩ2]ds^2 = -dt^2 + a(t)^2\left[\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2 d\Omega^2\right]

완전 유체 에너지-운동량 텐서:

Tμν=(ρ+p)uμuν+p gμνT_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + p \, g_{\mu\nu}

공동운동 관측자 uμ=(1,0,0,0)u^\mu = (1, 0, 0, 0)에 대해:

T 00=−ρ,T ji=p δjiT^0_{\ 0} = -\rho, \qquad T^i_{\ j} = p \, \delta^i_j

2. 크리스토펠 기호의 계산

유도FRW 크리스토펠 기호

계량 성분: g00=−1g_{00} = -1, grr=a21−kr2g_{rr} = \frac{a^2}{1-kr^2}, gθθ=a2r2g_{\theta\theta} = a^2 r^2, gϕϕ=a2r2sin⁡2θg_{\phi\phi} = a^2 r^2\sin^2\theta.

시간-공간 혼합 성분:

Γij0=aa˙ g~ij,Γ0ji=a˙aδji=Hδji\Gamma^0_{ij} = a\dot{a}\,\tilde{g}_{ij}, \qquad \Gamma^i_{0j} = \frac{\dot{a}}{a}\delta^i_j = H\delta^i_j

여기서 g~ij\tilde{g}_{ij}는 공동운동 공간 계량의 성분이다.

구체적으로:

Γrr0=aa˙1−kr2,Γθθ0=aa˙ r2,Γϕϕ0=aa˙ r2sin⁡2θ\Gamma^0_{rr} = \frac{a\dot{a}}{1-kr^2}, \quad \Gamma^0_{\theta\theta} = a\dot{a}\,r^2, \quad \Gamma^0_{\phi\phi} = a\dot{a}\,r^2\sin^2\thetaΓ0rr=Γ0θθ=Γ0ϕϕ=a˙a\Gamma^r_{0r} = \Gamma^\theta_{0\theta} = \Gamma^\phi_{0\phi} = \frac{\dot{a}}{a}

순수 공간 성분 (3차원 공간의 크리스토펠 기호):

Γrrr=kr1−kr2,Γθθr=−r(1−kr2),Γϕϕr=−r(1−kr2)sin⁡2θ\Gamma^r_{rr} = \frac{kr}{1-kr^2}, \quad \Gamma^r_{\theta\theta} = -r(1-kr^2), \quad \Gamma^r_{\phi\phi} = -r(1-kr^2)\sin^2\thetaΓrθθ=1r,Γϕϕθ=−sin⁡θcos⁡θ,Γrϕϕ=1r,Γθϕϕ=cot⁡θ\Gamma^\theta_{r\theta} = \frac{1}{r}, \quad \Gamma^\theta_{\phi\phi} = -\sin\theta\cos\theta, \quad \Gamma^\phi_{r\phi} = \frac{1}{r}, \quad \Gamma^\phi_{\theta\phi} = \cot\theta
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3. 리치 텐서의 계산

유도FRW 리치 텐서

리치 텐서 Rμν=∂λΓμνλ−∂νΓλμλ+ΓλσλΓμνσ−ΓνσλΓλμσR_{\mu\nu} = \partial_\lambda\Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \partial_\nu\Gamma^\lambda_{\lambda\mu} + \Gamma^\lambda_{\lambda\sigma}\Gamma^\sigma_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\nu\sigma}\Gamma^\sigma_{\lambda\mu}를 계산한다.

R00R_{00} 성분:

R00=∂iΓ00i−∂0Γi0i+ΓλσλΓ00σ−Γ0σλΓλ0σR_{00} = \partial_i\Gamma^i_{00} - \partial_0\Gamma^i_{i0} + \Gamma^\lambda_{\lambda\sigma}\Gamma^\sigma_{00} - \Gamma^\lambda_{0\sigma}\Gamma^\sigma_{\lambda 0}

Γ00i=0\Gamma^i_{00} = 0이므로:

R00=−∂0(3H)−3H2=−3H˙−3H2=−3a¨aR_{00} = -\partial_0(3H) - 3H^2 = -3\dot{H} - 3H^2 = -3\frac{\ddot{a}}{a}

여기서 H˙=a¨/a−H2\dot{H} = \ddot{a}/a - H^2을 사용하였다.

RijR_{ij} 성분:

계산의 세부 단계를 거치면:

Rij=(a¨a+2H2+2ka2)gij=(aa¨+2a˙2+2k)g~ijR_{ij} = \left(\frac{\ddot{a}}{a} + 2H^2 + \frac{2k}{a^2}\right)g_{ij} = \left(a\ddot{a} + 2\dot{a}^2 + 2k\right)\tilde{g}_{ij}

리치 스칼라:

R=g00R00+gijRij=3a¨a+3(a¨a+2H2+2ka2)R = g^{00}R_{00} + g^{ij}R_{ij} = 3\frac{\ddot{a}}{a} + 3\left(\frac{\ddot{a}}{a} + 2H^2 + \frac{2k}{a^2}\right)R=6(a¨a+H2+ka2)R = 6\left(\frac{\ddot{a}}{a} + H^2 + \frac{k}{a^2}\right)
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4. 제1 프리드만 방정식 유도

유도제1 프리드만 방정식

아인슈타인 방정식의 0000 성분:

G00=8πG T00G_{00} = 8\pi G \, T_{00}

아인슈타인 텐서의 0000 성분:

G00=R00−12g00R=−3a¨a+12⋅6(a¨a+H2+ka2)G_{00} = R_{00} - \frac{1}{2}g_{00}R = -3\frac{\ddot{a}}{a} + \frac{1}{2}\cdot 6\left(\frac{\ddot{a}}{a} + H^2 + \frac{k}{a^2}\right)G00=−3a¨a+3a¨a+3H2+3ka2=3H2+3ka2=3(a˙2+ka2)G_{00} = -3\frac{\ddot{a}}{a} + 3\frac{\ddot{a}}{a} + 3H^2 + \frac{3k}{a^2} = 3H^2 + \frac{3k}{a^2} = 3\left(\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right)

에너지-운동량 텐서: T00=ρT_{00} = \rho

따라서:

3(a˙2+ka2)=8πGρ3\left(\frac{\dot{a}^2 + k}{a^2}\right) = 8\pi G\rhoH2=(a˙a)2=8πG3ρ−ka2\boxed{H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}}

이것이 제1 프리드만 방정식이다.

우주상수를 포함하면:

H2=8πG3ρ−ka2+Λ3H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}
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5. 제2 프리드만 방정식 (가속 방정식) 유도

유도제2 프리드만 방정식

아인슈타인 방정식의 공간 성분을 사용한다. 혼합 텐서 형태로:

G ji=8πG T jiG^i_{\ j} = 8\pi G \, T^i_{\ j}G ji=R ji−12δjiRG^i_{\ j} = R^i_{\ j} - \frac{1}{2}\delta^i_j R

R jiR^i_{\ j}를 계산하면:

R ji=gikRkj=1a2(aa¨+2a˙2+2k)δji=(a¨a+2H2+2ka2)δjiR^i_{\ j} = g^{ik}R_{kj} = \frac{1}{a^2}\left(a\ddot{a} + 2\dot{a}^2 + 2k\right)\delta^i_j = \left(\frac{\ddot{a}}{a} + 2H^2 + \frac{2k}{a^2}\right)\delta^i_j

따라서:

G ji=(a¨a+2H2+2ka2)δji−12δji⋅6(a¨a+H2+ka2)G^i_{\ j} = \left(\frac{\ddot{a}}{a} + 2H^2 + \frac{2k}{a^2}\right)\delta^i_j - \frac{1}{2}\delta^i_j \cdot 6\left(\frac{\ddot{a}}{a} + H^2 + \frac{k}{a^2}\right)G ji=(−2a¨a−H2−ka2)δjiG^i_{\ j} = \left(-2\frac{\ddot{a}}{a} - H^2 - \frac{k}{a^2}\right)\delta^i_j

T ji=p δjiT^i_{\ j} = p\,\delta^i_j이므로:

−2a¨a−H2−ka2=8πG p-2\frac{\ddot{a}}{a} - H^2 - \frac{k}{a^2} = 8\pi G \, p

제1 프리드만 방정식 H2+k/a2=8πGρ/3H^2 + k/a^2 = 8\pi G\rho/3을 대입하면:

−2a¨a−8πG3ρ=8πG p-2\frac{\ddot{a}}{a} - \frac{8\pi G}{3}\rho = 8\pi G\,pa¨a=−4πG3(ρ+3p)\boxed{\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)}

이것이 제2 프리드만 방정식 (가속 방정식)이다. ρ+3p>0\rho + 3p > 0 (강한 에너지 조건)이면 a¨<0\ddot{a} < 0, 즉 팽창이 감속한다.

우주상수를 포함하면:

a¨a=−4πG3(ρ+3p)+Λ3\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3}
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6. 연속 방정식의 유도

유도연속 방정식

에너지-운동량 보존 ∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0의 ν=0\nu = 0 성분:

∇μTμ0=∂μTμ0+ΓμλμTλ0−Γμ0λTμλ=0\nabla_\mu T^{\mu 0} = \partial_\mu T^{\mu 0} + \Gamma^\mu_{\mu\lambda}T^{\lambda 0} - \Gamma^\lambda_{\mu 0}T^{\mu\lambda} = 0

각 항을 계산하면:

∂0T00+Γi0iT00+Γ000T00−Γ000T00−Γj0iTji=0\partial_0 T^{00} + \Gamma^i_{i0}T^{00} + \Gamma^0_{00}T^{00} - \Gamma^0_{00}T^{00} - \Gamma^i_{j0}T^{ji} = 0ρ˙+3Hρ+3Hp=0\dot{\rho} + 3H\rho + 3Hp = 0ρ˙+3H(ρ+p)=0\boxed{\dot{\rho} + 3H(\rho + p) = 0}

이것이 연속 방정식(continuity equation) 또는 **유체 방정식(fluid equation)**이다.

물리적 해석: ρa3\rho a^3은 공동운동 부피 안의 에너지이다. 그 변화율은:

ddt(ρa3)=−pddt(a3)\frac{d}{dt}(\rho a^3) = -p\frac{d}{dt}(a^3)

우변은 압력에 의한 일(−p dV-p\,dV)이다. 이것은 열역학 제1법칙 dU=−p dVdU = -p\,dV (단열 과정)에 해당한다.

상태 방정식 p=wρp = w\rho에 대해:

ρ∝a−3(1+w)\rho \propto a^{-3(1+w)}
  • 먼지 (w=0w = 0): ρ∝a−3\rho \propto a^{-3} (입자수 보존)
  • 복사 (w=1/3w = 1/3): ρ∝a−4\rho \propto a^{-4} (입자수 보존 + 적색편이)
  • 우주상수 (w=−1w = -1): ρ=const\rho = \text{const} (진공 에너지 밀도 불변)
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참고세 방정식의 관계

제1 프리드만 방정식, 제2 프리드만 방정식, 연속 방정식 중 임의의 두 개로부터 나머지 하나가 유도된다. 실제로 제1 프리드만 방정식을 시간으로 미분하고 연속 방정식을 사용하면 제2 프리드만 방정식을 얻는다:

2HH˙=8πG3ρ˙+2ka˙a32H\dot{H} = \frac{8\pi G}{3}\dot{\rho} + \frac{2k\dot{a}}{a^3}

연속 방정식 ρ˙=−3H(ρ+p)\dot{\rho} = -3H(\rho + p)를 대입하면:

2H(a¨a−H2)=−8πGH(ρ+p)+2kHa22H\left(\frac{\ddot{a}}{a} - H^2\right) = -8\pi GH(\rho + p) + \frac{2kH}{a^2}

HH로 나누고 제1 프리드만 방정식을 사용하면:

a¨a=H2−4πG(ρ+p)+ka2=8πG3ρ−4πG(ρ+p)=−4πG3(ρ+3p)\frac{\ddot{a}}{a} = H^2 - 4\pi G(\rho + p) + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3}\rho - 4\pi G(\rho + p)= -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)

따라서 실용적으로는 제1 프리드만 방정식과 연속 방정식을 연립하여 a(t)a(t)와 ρ(t)\rho(t)를 결정하는 것이 가장 편리하다.