물리학 강의 노트

법칙1.1프리드만 방정식

FRW 계량과 완전 유체 에너지-운동량 텐서에 대한 아인슈타인 방정식으로부터 다음 두 방정식이 얻어진다:

제1 프리드만 방정식 (에너지 구속 조건):

H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}

제2 프리드만 방정식 (가속 방정식 또는 레이초두리 방정식):

\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}

여기서 $\rho$ 는 에너지 밀도, $p$ 는 등방 압력, $k$ 는 공간 곡률 매개변수, $\Lambda$ 는 우주상수이다.

두 방정식을 결합하면 유체 방정식(fluid equation) 또는 **연속 방정식(continuity equation)**을 얻는다:

\dot{\rho} + 3H\left(\rho + \frac{p}{c^2}\right) = 0

이 세 방정식 중 두 개만이 독립적이다.

정의1.1임계 밀도와 밀도 매개변수

**임계 밀도(critical density)**는 $k = 0$ (평탄 우주)에 해당하는 밀도이다:

\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}

현재 값: $\rho_{c,0} = \frac{3H_0^2}{8\pi G} \approx 9.47 \times 10^{-27}$ kg/m $^3$ $\approx 5.6$ protons/m $^3$

밀도 매개변수(density parameter):

\Omega = \frac{\rho}{\rho_c}

각 성분에 대해:

\Omega_m = \frac{\rho_m}{\rho_c}, \quad \Omega_r = \frac{\rho_r}{\rho_c}, \quad \Omega_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{3H^2}, \quad \Omega_k = -\frac{kc^2}{a^2H^2}

제1 프리드만 방정식은:

\Omega_m + \Omega_r + \Omega_\Lambda + \Omega_k = 1

예제단일 성분 우주

상태 방정식 $p = w\rho c^2$ 이고 $k = 0$ , $\Lambda = 0$ 인 경우:

연속 방정식으로부터: $\rho \propto a^{-3(1+w)}$

제1 프리드만 방정식으로부터: $a(t) \propto t^{2/[3(1+w)]}$ ( $w \neq -1$ )

먼지 우주 ( $w = 0$ , 물질 우세):

a(t) \propto t^{2/3}, \qquad \rho \propto a^{-3} \propto t^{-2}, \qquad H = \frac{2}{3t}

이것은 아인슈타인-드 시터(Einstein-de Sitter) 우주이다.

복사 우주 ( $w = 1/3$ , 복사 우세):

a(t) \propto t^{1/2}, \qquad \rho \propto a^{-4} \propto t^{-2}, \qquad H = \frac{1}{2t}

$\rho_r \propto a^{-4}$ 에서 추가적인 $a^{-1}$ 은 광자의 적색편이에 의한 에너지 감소이다.

드 시터 우주 ( $w = -1$ , 우주상수 우세):

a(t) \propto e^{H_\Lambda t}, \qquad \rho = \text{const}, \qquad H = H_\Lambda = \sqrt{\frac{\Lambda c^2}{3}} = \text{const}

이것은 지수적(exponential) 팽창이며, 인플레이션과 현재 우주의 미래에 해당한다.

정의1.2$\Lambda$CDM 모형

$\Lambda$ CDM (Lambda Cold Dark Matter) 모형은 현대 우주론의 표준 모형이다. 우주의 구성:

| 성분 | $\Omega_0$ | $w$ | $\rho(a)$ | |------|-----------|-----|-----------| | 복사 | $\sim 10^{-4}$ | $1/3$ | $\propto a^{-4}$ | | 바리온 물질 | $\sim 0.05$ | $0$ | $\propto a^{-3}$ | | 암흑 물질 | $\sim 0.26$ | $0$ | $\propto a^{-3}$ | | 암흑 에너지( $\Lambda$ ) | $\sim 0.69$ | $-1$ | const |

제1 프리드만 방정식:

H^2(z) = H_0^2\left[\Omega_{r,0}(1+z)^4 + \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{k,0}(1+z)^2 + \Omega_{\Lambda,0}\right]

관측에 의하면 $\Omega_{k,0} \approx 0$ (우주는 매우 평탄하다), 이는 인플레이션 이론의 예측과 일치한다.

참고우주의 주요 시기

프리드만 방정식에 의한 우주의 시간적 발전:

플랑크 시대 ( $t < 10^{-43}$ s): 양자 중력이 지배, 현재 물리학의 적용 한계
인플레이션 ( $t \sim 10^{-36}$ - $10^{-32}$ s): 지수적 팽창, $a$ 가 $\sim e^{60}$ 배 증가
복사 우세 시대 ( $t \sim 10^{-32}$ s - $47{,}000$ yr): $a \propto t^{1/2}$
물질-복사 동등 ( $z_{eq} \approx 3400$ , $t \approx 47{,}000$ yr): $\rho_m = \rho_r$
물질 우세 시대 ( $47{,}000$ yr - $9.8$ Gyr): $a \propto t^{2/3}$
재결합 ( $z \approx 1100$ , $t \approx 380{,}000$ yr): 수소 원자 형성, CMB 방출
물질- $\Lambda$ 동등 ( $z \approx 0.33$ , $t \approx 9.8$ Gyr): $\rho_m = \rho_\Lambda$
현재 ( $z = 0$ , $t_0 \approx 13.8$ Gyr): 가속 팽창 중

유도뉴턴적 유도

반지름 $r$ 인 균질 구에서 표면 위의 시험 질량 $m$ 의 에너지 보존:

\frac{1}{2}m\dot{r}^2 - \frac{GMm}{r} = E

$r = a(t)\chi$ (공동운동 좌표), $M = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ 를 대입하면:

\frac{1}{2}\dot{a}^2\chi^2 - \frac{4\pi G}{3}\rho a^2 \chi^2 = \frac{E}{m}

$\chi^2$ 으로 나누고 $E/m = -kc^2/2$ 로 정의하면:

\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}

이것이 제1 프리드만 방정식이다. 뉴턴 역학에서는 압력이 중력원에 기여하지 않으므로 제2 방정식은 $F = ma$ 로부터:

\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\rho

일반상대론에서는 $\rho \to \rho + 3p/c^2$ 으로 대체되어 제2 프리드만 방정식을 얻는다. 이 뉴턴적 유도는 우연한 일치가 아니라 버코프 정리의 뉴턴적 대응물인 셸 정리에 의해 정당화된다.

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프리드만 방정식 (Friedmann Equations)

1. 프리드만 방정식의 진술

2. 밀도 매개변수

3. 단일 성분 우주의 해

4. $\Lambda$ CDM 모형

5. 우주의 열사(thermal history)

6. 프리드만 방정식의 뉴턴적 유도