반사와 굴절 (Reflection and Refraction)

1. 서론

빛이 두 매질의 경계면에 도달하면 반사(reflection)와 굴절(refraction)이라는 두 가지 근본적 현상이 발생한다. 기하광학에서 이 두 현상은 광선(ray)의 개념으로 기술되며, 이는 파동광학의 극한적 근사( $\lambda \to 0$ )에 해당한다.

전자기파로서의 빛이 경계면에서 만족해야 하는 경계 조건(boundary condition)으로부터 반사 법칙과 굴절 법칙이 자연스럽게 도출된다.

2. 반사 법칙

정의1.1반사 법칙

경계면의 법선(normal)에 대하여 입사각 $\theta_i$ 와 반사각 $\theta_r$ 은 다음 관계를 만족한다:

\theta_i = \theta_r

또한, 입사 광선, 반사 광선, 법선은 모두 같은 평면(입사면, plane of incidence) 위에 놓인다.

반사 법칙은 전자기학적으로 경계면에서의 접선 방향 파수 벡터 보존으로부터 유도할 수 있다. 입사파의 파수 벡터를 $\mathbf{k}_i$ , 반사파의 파수 벡터를 $\mathbf{k}_r$ 이라 하면:

k_{i,\parallel} = k_{r,\parallel}

두 파동이 동일한 매질에 존재하므로 $|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_r|$ 이며, 따라서 $\theta_i = \theta_r$ 이 성립한다.

3. 굴절 법칙

정의1.2굴절 현상

빛이 굴절률 $n_1$ 인 매질에서 굴절률 $n_2$ 인 매질로 진행할 때, 경계면에서 진행 방향이 변하는 현상을 굴절(refraction)이라 한다. 입사각 $\theta_1$ 과 굴절각 $\theta_2$ 사이의 관계는 스넬 법칙으로 기술된다:

n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2

굴절률(refractive index) $n$ 은 진공에서의 빛의 속력 $c$ 와 매질에서의 위상 속력(phase velocity) $v$ 의 비로 정의된다:

n = \frac{c}{v} = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}

여기서 $\epsilon_r$ 은 비유전율, $\mu_r$ 은 비투자율이다. 비자성체( $\mu_r \approx 1$ )에서는 $n \approx \sqrt{\epsilon_r}$ 이 된다.

4. 전반사

정의1.3전반사와 임계각

빛이 광학적으로 밀한 매질( $n_1 > n_2$ )에서 소한 매질로 진행할 때, 입사각이 임계각(critical angle) $\theta_c$ 이상이면 굴절파가 존재하지 않고 모든 빛이 반사된다. 이를 전반사(total internal reflection)라 한다.

\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)

전반사 조건에서 굴절파는 소멸파(evanescent wave)로 전환된다. 경계면 너머의 전기장은 다음과 같이 지수적으로 감쇠한다:

\mathbf{E} \propto e^{-\kappa z} e^{i(k_x x - \omega t)}

여기서 침투 깊이(penetration depth) $\delta$ 는:

\delta = \frac{1}{\kappa} = \frac{\lambda}{2\pi \sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_i - n_2^2}}

참고소멸파의 물리적 의미

소멸파는 경계면에 평행한 방향으로는 전파하지만, 수직 방향으로는 에너지를 수송하지 않는다. 그러나 경계면 근처( $\sim \delta$ )에 또 다른 매질을 놓으면 좌절 전반사(frustrated total internal reflection)가 발생하여 빛이 터널링할 수 있다. 이는 양자역학의 터널 효과와 수학적으로 동일한 구조를 가진다.

5. 프레넬 방정식

경계면에서의 반사율과 투과율은 편광 상태에 따라 다르며, 프레넬 방정식(Fresnel equations)으로 기술된다.

s-편광(TE, 전기장이 입사면에 수직):

r_s = \frac{n_1 \cos\theta_i - n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}

t_s = \frac{2 n_1 \cos\theta_i}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t}

p-편광(TM, 전기장이 입사면에 평행):

r_p = \frac{n_2 \cos\theta_i - n_1 \cos\theta_t}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t}

t_p = \frac{2 n_1 \cos\theta_i}{n_2 \cos\theta_i + n_1 \cos\theta_t}

반사도(reflectance)와 투과도(transmittance)는 각각:

R_{s,p} = |r_{s,p}|^2, \qquad T_{s,p} = \frac{n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i} |t_{s,p}|^2

에너지 보존에 의해 $R + T = 1$ 이 항상 성립한다.

예제수직 입사 시 반사도

수직 입사( $\theta_i = 0$ )에서 s-편광과 p-편광의 구분은 사라지며, 반사도는:

R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2

예를 들어 공기( $n_1 = 1.00$ )에서 유리( $n_2 = 1.50$ )로의 수직 입사에서:

R = \left(\frac{1.00 - 1.50}{1.00 + 1.50}\right)^2 = \left(\frac{-0.50}{2.50}\right)^2 = 0.04

즉, 약 4%의 빛이 반사된다. 이것이 유리창에서 자신의 모습이 희미하게 보이는 이유이다.

6. 분산과 굴절률의 파장 의존성

실제 매질에서 굴절률은 파장에 따라 변한다. 이를 분산(dispersion)이라 한다. 코시(Cauchy) 방정식에 의한 근사적 표현은:

n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \cdots

보다 물리적인 모델은 로렌츠 진동자 모델(Lorentz oscillator model)에서 얻어진다:

n^2(\omega) = 1 + \sum_j \frac{N_j e^2 / (m_e \epsilon_0)}{\omega_{0j}^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega}

여기서 $\omega_{0j}$ 는 $j$ 번째 공명 진동수, $\gamma_j$ 는 감쇠 계수, $N_j$ 는 단위 부피당 진동자 수이다.

참고정상 분산과 비정상 분산

공명 진동수에서 멀리 떨어진 영역에서는 $dn/d\lambda < 0$ 인 정상 분산(normal dispersion)이 나타나며, 공명 진동수 근처에서는 $dn/d\lambda > 0$ 인 비정상 분산(anomalous dispersion)이 관찰된다. 비정상 분산 영역에서는 군속도(group velocity)가 위상 속도를 초과할 수 있으나, 이는 정보 전달 속도와 무관하다.