렌즈와 거울 (Lenses and Mirrors)

1. 서론

렌즈와 거울은 기하광학의 핵심 광학 소자로서, 반사와 굴절의 원리를 이용하여 빛을 모으거나 발산시킨다. 근축 근사(paraxial approximation) 하에서 이들의 결상(imaging) 특성은 간결한 수학적 형태로 기술된다.

2. 구면 거울

정의1.4구면 거울의 결상 공식

곡률 반지름 $R$ 인 구면 거울에 대하여, 물체 거리 $s$ 와 상 거리 $s'$ 은 다음 관계를 만족한다:

\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{2}{R} = \frac{1}{f}

여기서 $f = R/2$ 는 초점 거리(focal length)이다.

부호 규약(sign convention)은 다음과 같다:

물체가 거울 앞(입사광 쪽)에 있으면 $s > 0$
상이 거울 앞에 생기면 $s' > 0$ (실상, real image)
상이 거울 뒤에 생기면 $s' < 0$ (허상, virtual image)
오목 거울: $R > 0$ , $f > 0$
볼록 거울: $R < 0$ , $f < 0$

횡배율(lateral magnification)은:

m = -\frac{s'}{s}

$m > 0$ 이면 정립상(erect image), $m < 0$ 이면 도립상(inverted image)이다.

3. 얇은 렌즈

정의1.5얇은 렌즈 방정식

얇은 렌즈(thin lens)에 대한 결상 공식은:

\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}

초점 거리 $f$ 는 렌즈 제작자 방정식(lensmaker's equation)으로 결정된다:

\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)

여기서 $n$ 은 렌즈 재질의 굴절률, $R_1$ 과 $R_2$ 는 각각 렌즈의 첫째 면과 둘째 면의 곡률 반지름이다.

예제양볼록 렌즈의 초점 거리

굴절률 $n = 1.50$ , $R_1 = +20\,\text{cm}$ , $R_2 = -20\,\text{cm}$ 인 양볼록 렌즈의 초점 거리:

\frac{1}{f} = (1.50 - 1)\left(\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}\right) = 0.50 \times \frac{2}{20} = 0.05\,\text{cm}^{-1}

f = 20\,\text{cm}

이 렌즈로부터 $s = 40\,\text{cm}$ 에 물체를 놓으면:

\frac{1}{s'} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s} = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40}

따라서 $s' = 40\,\text{cm}$ 에 등배( $m = -1$ )의 도립 실상이 형성된다.

4. 두꺼운 렌즈와 주요면

두꺼운 렌즈(thick lens)에서는 렌즈의 유한한 두께 $d$ 를 고려해야 한다. 이때 주요면(principal planes) $H$ , $H'$ 의 개념이 도입된다.

두꺼운 렌즈의 유효 초점 거리는:

\frac{1}{f} = (n-1)\left[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)d}{n R_1 R_2}\right]

주요면의 위치는 각각:

\delta_H = -\frac{f(n-1)d}{n R_2}, \qquad \delta_{H'} = -\frac{f(n-1)d}{n R_1}

여기서 $\delta_H$ , $\delta_{H'}$ 는 각각 첫째 면과 둘째 면으로부터 측정한 주요면까지의 거리이다.

5. 광학계의 행렬 방법

정의1.6광선 전달 행렬

근축 광선은 위치 $y$ 와 기울기 $\theta$ 의 쌍 $\begin{pmatrix} y \\ \theta \end{pmatrix}$ 로 표현되며, 각 광학 소자를 통과할 때 $2 \times 2$ 행렬에 의해 변환된다:

\begin{pmatrix} y_2 \\ \theta_2 \end{pmatrix} = \mathbf{M} \begin{pmatrix} y_1 \\ \theta_1 \end{pmatrix}

기본 전달 행렬들은 다음과 같다:

자유 공간 전파 (거리 $d$ ):

\mathbf{M}_{\text{free}} = \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

얇은 렌즈 (초점 거리 $f$ ):

\mathbf{M}_{\text{lens}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/f & 1 \end{pmatrix}

구면 굴절면 (곡률 반지름 $R$ , $n_1 \to n_2$ ):

\mathbf{M}_{\text{refr}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{n_1 - n_2}{n_2 R} & \dfrac{n_1}{n_2} \end{pmatrix}

구면 거울 (곡률 반지름 $R$ ):

\mathbf{M}_{\text{mirror}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2/R & 1 \end{pmatrix}

복합 광학계의 전체 전달 행렬은 개별 행렬의 곱으로 얻어진다 (오른쪽에서 왼쪽 순서):

\mathbf{M}_{\text{total}} = \mathbf{M}_N \cdots \mathbf{M}_2 \cdot \mathbf{M}_1

예제두 렌즈 계의 유효 초점 거리

초점 거리 $f_1$ , $f_2$ 인 두 얇은 렌즈가 거리 $d$ 만큼 떨어져 있을 때, 전체 전달 행렬은:

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/f_2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/f_1 & 1 \end{pmatrix}

계산하면:

\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 - d/f_1 & d \\ -1/f_{\text{eff}} & 1 - d/f_2 \end{pmatrix}

여기서 유효 초점 거리는:

\frac{1}{f_{\text{eff}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}

6. 수차

근축 근사를 넘어서면 수차(aberration)가 발생한다. 자이델 수차(Seidel aberrations)는 5가지 단색 수차로 분류된다:

| 수차 | 설명 | 의존성 | |------|------|--------| | 구면 수차 (spherical) | 광축과의 거리에 따른 초점 차이 | $h^4$ | | 코마 (coma) | 축외 점상의 혜성형 왜곡 | $h^3 \bar{h}$ | | 비점 수차 (astigmatism) | 자오면과 구결면의 초점 차이 | $h^2 \bar{h}^2$ | | 상면 만곡 (field curvature) | 상면이 평면이 아닌 곡면 | $h^2 \bar{h}^2$ | | 왜곡 (distortion) | 배율의 상 위치 의존성 | $h \bar{h}^3$ |

여기서 $h$ 는 렌즈 구경에서의 광선 높이, $\bar{h}$ 는 상면에서의 높이이다.

참고색수차

단색 수차 외에도 분산에 의한 색수차(chromatic aberration)가 존재한다. 이는 색지움(achromatic) 이중렌즈를 사용하여 보정할 수 있다. 아베 수(Abbe number) $V = (n_d - 1)/(n_F - n_C)$ 가 이를 정량적으로 기술하는 핵심 매개변수이다.