스넬 법칙 (Snell's Law)

1. 법칙의 진술

법칙1.1스넬의 굴절 법칙

굴절률 $n_1$ 인 매질에서 굴절률 $n_2$ 인 매질로 빛이 진행할 때, 입사각 $\theta_1$ 과 굴절각 $\theta_2$ 사이에는 다음 관계가 성립한다:

n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2

여기서 각도는 경계면의 법선에 대하여 측정한다. 이 법칙은 입사 광선, 굴절 광선, 법선이 모두 같은 평면에 놓인다는 조건을 포함한다.

이 법칙은 역사적으로 윌레브로르드 스넬리위스(Willebrord Snellius, 1621)에 의해 실험적으로 발견되었으나, 르네 데카르트(Rene Descartes)가 독립적으로 유도하기도 하였다.

2. 전자기학적 유도

맥스웰 방정식의 경계 조건으로부터 스넬 법칙을 엄밀하게 유도할 수 있다.

유도경계 조건으로부터의 유도

경계면( $z = 0$ )에 입사하는 평면파를 고려하자:

\mathbf{E}_i = \mathbf{E}_{0i}\, e^{i(\mathbf{k}_i \cdot \mathbf{r} - \omega t)}

\mathbf{E}_t = \mathbf{E}_{0t}\, e^{i(\mathbf{k}_t \cdot \mathbf{r} - \omega t)}

경계면( $z = 0$ )에서 전기장의 접선 성분이 연속이어야 하므로, 경계면 위의 모든 점 $\mathbf{r}_\parallel$ 에서:

e^{i \mathbf{k}_{i,\parallel} \cdot \mathbf{r}_\parallel} = e^{i \mathbf{k}_{t,\parallel} \cdot \mathbf{r}_\parallel}

이로부터 $\mathbf{k}_{i,\parallel} = \mathbf{k}_{t,\parallel}$ , 즉 접선 방향 파수 벡터가 보존된다:

k_i \sin\theta_1 = k_t \sin\theta_2

각 매질에서 파수의 크기는 $k = n\omega/c$ 이므로:

\frac{n_1 \omega}{c} \sin\theta_1 = \frac{n_2 \omega}{c} \sin\theta_2

따라서:

\boxed{n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2}

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3. 페르마 원리로부터의 유도

유도페르마 원리를 이용한 유도

매질 1의 점 $A(x_A, y_A)$ 에서 경계면 위의 점 $O(x, 0)$ 를 거쳐 매질 2의 점 $B(x_B, y_B)$ 에 도달하는 광 경로의 광학적 거리(optical path length)는:

L = n_1 \sqrt{(x - x_A)^2 + y_A^2} + n_2 \sqrt{(x_B - x)^2 + y_B^2}

페르마 원리에 의해 $dL/dx = 0$ 이어야 한다:

\frac{dL}{dx} = n_1 \frac{x - x_A}{\sqrt{(x - x_A)^2 + y_A^2}} - n_2 \frac{x_B - x}{\sqrt{(x_B - x)^2 + y_B^2}} = 0

기하학적으로 $\sin\theta_1 = (x - x_A)/\sqrt{(x - x_A)^2 + y_A^2}$ 이고 $\sin\theta_2 = (x_B - x)/\sqrt{(x_B - x)^2 + y_B^2}$ 이므로:

n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2

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4. 벡터 형식

스넬 법칙은 벡터 형식으로 보다 일반적으로 표현할 수 있다. 입사 방향 단위 벡터를 $\hat{\mathbf{s}}_i$ , 굴절 방향 단위 벡터를 $\hat{\mathbf{s}}_t$ , 경계면 법선을 $\hat{\mathbf{n}}$ (입사 매질 쪽을 향함)이라 하면:

n_1 (\hat{\mathbf{s}}_i \times \hat{\mathbf{n}}) = n_2 (\hat{\mathbf{s}}_t \times \hat{\mathbf{n}})

이를 풀면 굴절 광선의 방향 벡터를 직접 구할 수 있다:

\hat{\mathbf{s}}_t = \frac{n_1}{n_2} \hat{\mathbf{s}}_i + \left(\frac{n_1}{n_2} \cos\theta_i - \cos\theta_t\right) \hat{\mathbf{n}}

여기서:

\cos\theta_t = \sqrt{1 - \left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2 (1 - \cos^2\theta_i)}

이 벡터 형식은 광선 추적(ray tracing) 알고리즘의 핵심이 된다.

5. 적용: 프리즘에서의 분산

예제프리즘의 최소 편향각

꼭지각 $A$ 인 프리즘에 빛이 입사할 때, 편향각(deviation angle) $\delta$ 는:

\delta = \theta_1 + \theta_4 - A

여기서 $\theta_1$ 은 입사각, $\theta_4$ 는 프리즘을 나갈 때의 굴절각이다. 최소 편향 조건은 빛이 프리즘 내부에서 밑변에 평행하게 진행할 때 ( $\theta_1 = \theta_4$ ) 달성되며, 이때:

n = \frac{\sin\!\left(\dfrac{A + \delta_{\min}}{2}\right)}{\sin\!\left(\dfrac{A}{2}\right)}

이 관계식은 굴절률의 정밀 측정에 널리 사용된다.

6. 일반화: 등급 굴절률 매질

굴절률이 공간적으로 연속적으로 변하는 매질(graded-index medium, GRIN)에서 스넬 법칙은 미분 형태로 일반화된다. 아이코널 방정식(eikonal equation)은:

|\nabla S|^2 = n^2(\mathbf{r})

여기서 $S(\mathbf{r})$ 는 아이코널(eikonal), 즉 등위상면의 함수이다. 이로부터 광선 방정식이 유도된다:

\frac{d}{ds}\left(n \frac{d\mathbf{r}}{ds}\right) = \nabla n

여기서 $s$ 는 광선을 따른 호의 길이(arc length)이다.

참고층상 매질에서의 스넬 법칙

굴절률이 한 좌표(예: $z$ )에만 의존하는 층상 매질에서는, 수평 방향의 파수 보존에 의해:

n(z) \sin\theta(z) = \text{const}

이는 대기 중 빛의 굴곡(atmospheric refraction), 해양 음파의 전파, 광섬유 내의 광선 경로 등을 설명하는 데 핵심적인 역할을 한다.