페르마 원리 (Fermat's Principle)

1. 법칙의 진술

법칙1.2페르마의 원리

빛은 두 점 사이를 이동할 때, 광학적 경로 길이(optical path length, OPL)가 정류값(stationary value)을 가지는 경로를 따른다:

\delta \int_A^B n(\mathbf{r})\, ds = 0

여기서 $n(\mathbf{r})$ 은 위치에 따른 굴절률, $ds$ 는 경로를 따른 미소 길이 요소, $\delta$ 는 경로에 대한 변분(variation)이다.

"최소 시간"이라는 페르마의 원래 표현은 정확하지 않다. 실제로는 광학적 경로 길이가 극값(최솟값 또는 최댓값)이거나 안장점(saddle point)인 경우를 모두 포함한다. 보다 정확하게는, 인접한 경로들에 대해 1차 변분이 0이 되는 정류 조건(stationary condition)이다.

2. 광학적 경로 길이

정의1.7광학적 경로 길이

점 $A$ 에서 점 $B$ 까지의 광학적 경로 길이(OPL)는 다음과 같이 정의된다:

\text{OPL} = \int_A^B n(\mathbf{r})\, ds = c \int_A^B \frac{ds}{v(\mathbf{r})} = c \cdot T

여기서 $T$ 는 빛이 경로를 따라 이동하는 데 걸리는 시간이다. 균일한 매질에서 OPL은 단순히 $n \cdot d$ 이며, 여기서 $d$ 는 기하학적 경로 길이이다.

3. 오일러-라그랑주 방정식을 통한 광선 방정식 유도

유도광선 방정식의 유도

2차원에서 경로를 $y(x)$ 로 매개변수화하면, 경로 길이 요소는:

ds = \sqrt{1 + y'^2}\, dx

페르마 원리는 범함수를 정류시키는 문제이다:

\delta \int_{x_A}^{x_B} n(x, y) \sqrt{1 + y'^2}\, dx = 0

피적분함수를 $\mathcal{L}(y, y', x) = n(x,y)\sqrt{1 + y'^2}$ 로 놓으면, 오일러-라그랑주 방정식:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y'} = 0

각 편미분을 계산하면:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y'} = \frac{n\, y'}{\sqrt{1 + y'^2}} = n \sin\theta

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \frac{\partial n}{\partial y} \sqrt{1 + y'^2}

따라서 광선 방정식은:

\frac{d}{dx}(n \sin\theta) = \frac{\partial n}{\partial y} \sqrt{1 + y'^2}

보다 일반적인 3차원 벡터 형태로는:

\frac{d}{ds}\!\left(n \frac{d\mathbf{r}}{ds}\right) = \nabla n

이것이 아이코널 광선 방정식(eikonal ray equation)이다.

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4. 반사 법칙과 굴절 법칙의 통일적 유도

페르마 원리의 핵심적 가치는 반사 법칙과 스넬 법칙을 하나의 원리로부터 도출할 수 있다는 점이다.

반사 법칙의 유도: 평면 거울에서의 반사를 고려하자. 점 $A$ 에서 거울 위의 점 $P$ 를 거쳐 점 $B$ 에 도달하는 경로에 대해:

L = n\left(\overline{AP} + \overline{PB}\right)

$dL/dx_P = 0$ 의 조건으로부터 $\theta_i = \theta_r$ 이 직접 유도된다. 기하학적으로 이는 거울에 대한 $A$ 의 경상(mirror image) $A'$ 와 $B$ 를 잇는 직선이 최단 경로라는 사실과 동치이다.

굴절 법칙의 유도: 두 균일 매질의 경계면에서:

L = n_1 \overline{AP} + n_2 \overline{PB}

$dL/dx_P = 0$ 조건이 $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$ 를 준다.

5. 해밀턴의 특성 함수와의 관계

정의1.8해밀턴의 점 특성 함수

해밀턴의 점 특성 함수(point characteristic function) $V(\mathbf{r}_A, \mathbf{r}_B)$ 는 점 $A$ 에서 점 $B$ 까지의 광학적 경로 길이로 정의된다:

V(\mathbf{r}_A, \mathbf{r}_B) = \int_A^B n\, ds

이 함수는 다음 성질을 만족한다:

\nabla_B V = n_B \hat{\mathbf{s}}_B, \qquad \nabla_A V = -n_A \hat{\mathbf{s}}_A

여기서 $\hat{\mathbf{s}}_A$ , $\hat{\mathbf{s}}_B$ 는 각각 $A$ , $B$ 에서의 광선 방향 단위 벡터이다.

이는 고전역학에서 해밀턴-야코비(Hamilton-Jacobi) 방정식과 정확히 동일한 수학적 구조를 가진다. 아이코널 $S(\mathbf{r})$ 는 역학의 해밀턴 주함수(Hamilton's principal function)에 대응하며:

|\nabla S|^2 = n^2(\mathbf{r}) \quad \longleftrightarrow \quad |\nabla W|^2 = 2m(E - V(\mathbf{r}))

참고역학과 광학의 유비

페르마 원리와 해밀턴의 최소 작용 원리 사이의 수학적 유비는 깊은 물리적 의미를 가진다. 이 유비에서 영감을 받아 드브로이(de Broglie)는 물질파 가설을 제안하였고, 슈뢰딩거(Schrodinger)는 파동역학을 건설하였다. 기하광학이 파동광학의 $\lambda \to 0$ 극한인 것처럼, 고전역학은 양자역학의 $\hbar \to 0$ 극한이다.

6. 적용: 신기루와 대기 굴절

예제신기루의 광선 경로

대기의 온도 구배에 의해 굴절률이 높이 $z$ 에 따라 변할 때, 광선 경로는 페르마 원리로부터 결정된다. 지표면 근처에서 온도가 높아 $n$ 이 감소하는 경우:

n(z) \sin\theta(z) = n_0 \sin\theta_0 = \text{const}

$n$ 이 감소하면 $\sin\theta$ 가 증가하여 광선이 위로 휘어지고, 결국 전반사와 유사한 현상이 발생한다. 관측자에게는 하늘의 상이 지표면 아래에 보이는 하위 신기루(inferior mirage)가 형성된다.

온도 역전층(temperature inversion layer)이 존재하면 반대 방향으로 광선이 휘어져 상위 신기루(superior mirage)가 나타난다.