결맞음 (Coherence)

1. 서론

간섭 현상의 관찰 가능성은 파동의 결맞음(coherence)에 의해 결정된다. 결맞음은 두 시공간 지점에서의 파동 사이의 상관(correlation) 정도를 정량적으로 기술하는 개념이다. 완전히 결맞는 빛(perfectly coherent light)은 이상적 극한에 해당하며, 실제 광원은 부분적 결맞음(partial coherence)을 가진다.

2. 시간적 결맞음

정의2.3시간적 결맞음과 자기 상관 함수

파동 $U(t)$ 의 시간적 결맞음(temporal coherence)은 자기 상관 함수(autocorrelation function)로 기술된다:

\Gamma(\tau) = \langle U^*(t)\, U(t + \tau) \rangle = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} U^*(t)\, U(t + \tau)\, dt

정규화된 자기 상관 함수를 복소 결맞음도(complex degree of coherence)라 한다:

\gamma(\tau) = \frac{\Gamma(\tau)}{\Gamma(0)} = \frac{\Gamma(\tau)}{I}

여기서 $I = \Gamma(0) = \langle |U|^2 \rangle$ 는 평균 세기(intensity)이다.

$|\gamma(\tau)|$ 의 값에 따라:

$|\gamma(\tau)| = 1$ : 완전 결맞음 (perfectly coherent)
$0 < |\gamma(\tau)| < 1$ : 부분 결맞음 (partially coherent)
$|\gamma(\tau)| = 0$ : 완전 비결맞음 (perfectly incoherent)

정의2.4결맞음 시간과 결맞음 길이

결맞음 시간(coherence time) $\tau_c$ 는 $|\gamma(\tau)|$ 가 유의미한 값을 유지하는 시간 간격으로 정의된다:

\tau_c = \int_0^\infty |\gamma(\tau)|^2\, d\tau

이에 대응하는 결맞음 길이(coherence length)는:

\ell_c = c\, \tau_c

스펙트럼 폭 $\Delta\nu$ 와의 관계는:

\tau_c \sim \frac{1}{\Delta\nu}, \qquad \ell_c \sim \frac{c}{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}

3. 위너-힌친 정리

법칙2.1위너-힌친 정리

자기 상관 함수와 파워 스펙트럼 밀도(power spectral density) $S(\nu)$ 는 푸리에 변환 쌍이다:

\Gamma(\tau) = \int_0^\infty S(\nu)\, e^{-2\pi i \nu \tau}\, d\nu

S(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} \Gamma(\tau)\, e^{2\pi i \nu \tau}\, d\tau

이 정리는 시간 영역의 결맞음 특성(자기 상관 함수)과 주파수 영역의 스펙트럼 특성이 동치 정보를 담고 있음을 보여준다.

예제가우시안 스펙트럼의 결맞음 시간

중심 주파수 $\nu_0$ , 스펙트럼 폭 $\Delta\nu$ 인 가우시안 스펙트럼:

S(\nu) = S_0 \exp\!\left[-\frac{(\nu - \nu_0)^2}{2(\Delta\nu)^2}\right]

의 자기 상관 함수는 위너-힌친 정리에 의해:

\gamma(\tau) = \exp\!\left(-\pi(\Delta\nu)^2 \tau^2\right) e^{-2\pi i \nu_0 \tau}

따라서 결맞음 시간은:

\tau_c = \frac{1}{\Delta\nu \sqrt{2\pi}}

예를 들어, He-Ne 레이저( $\Delta\nu \approx 1.5\,\text{GHz}$ )의 결맞음 길이는 $\ell_c \approx 20\,\text{cm}$ 이고, 백색광( $\Delta\lambda \approx 300\,\text{nm}$ )의 결맞음 길이는 $\ell_c \approx 1\,\mu\text{m}$ 이다.

4. 공간적 결맞음

정의2.5상호 결맞음 함수

두 공간 지점 $\mathbf{r}_1$ , $\mathbf{r}_2$ 에서의 파동 사이의 상관을 기술하는 상호 결맞음 함수(mutual coherence function)는:

\Gamma_{12}(\tau) = \langle U^*(\mathbf{r}_1, t)\, U(\mathbf{r}_2, t + \tau) \rangle

이를 정규화한 복소 결맞음도는:

\gamma_{12}(\tau) = \frac{\Gamma_{12}(\tau)}{\sqrt{I(\mathbf{r}_1) \cdot I(\mathbf{r}_2)}}

공간적 결맞음(spatial coherence)은 $\tau = 0$ 일 때의 횡방향 상관, 즉 $\gamma_{12}(0)$ 으로 특성화된다.

5. 반 시테르트-체르니케 정리

법칙2.2반 시테르트-체르니케 정리

확장된 비결맞음 광원(extended incoherent source)의 세기 분포 $I(\boldsymbol{\xi})$ 에 의해 생성되는 파동장의 공간적 결맞음도는 다음과 같다:

\gamma_{12}(0) = \frac{\displaystyle\iint I(\boldsymbol{\xi})\, \exp\!\left[-\frac{2\pi i}{\lambda z}(\boldsymbol{\xi} \cdot \Delta\mathbf{r})\right] d^2\boldsymbol{\xi}}{\displaystyle\iint I(\boldsymbol{\xi})\, d^2\boldsymbol{\xi}}

여기서 $\boldsymbol{\xi}$ 는 광원면에서의 좌표, $\Delta\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$ 은 관측면에서 두 점의 분리, $z$ 는 광원면과 관측면 사이의 거리이다.

즉, 공간적 결맞음도는 광원의 세기 분포의 정규화된 푸리에 변환이다. 이는 프라운호퍼 회절에서 회절 무늬가 개구 함수의 푸리에 변환인 것과 같은 수학적 구조이다.

예제원형 광원의 공간적 결맞음

반지름 $a$ 인 균일한 원형 광원으로부터 거리 $z$ 에서 관측할 때, 반 시테르트-체르니케 정리에 의한 공간적 결맞음도는:

\gamma_{12}(0) = \frac{2 J_1(v)}{v}, \qquad v = \frac{2\pi a \,|\Delta\mathbf{r}|}{\lambda z}

여기서 $J_1$ 은 제1종 베셀 함수이다. 결맞음 영역(coherence area)의 반지름은 $|\gamma_{12}| \approx 0$ 이 되는 $v \approx 3.83$ 에서:

|\Delta\mathbf{r}|_c \approx 0.61 \frac{\lambda z}{a} = 1.22 \frac{\lambda}{2a/z} = 1.22 \frac{\lambda}{2\theta_s}

여기서 $\theta_s = a/z$ 는 광원의 반각 크기(angular radius)이다.

6. 부분 결맞음과 간섭 무늬의 가시도

두 부분적으로 결맞는 파동의 간섭에서, 세기 분포는:

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\, |\gamma_{12}(\tau)| \cos\!\left[\alpha_{12}(\tau) + \delta\right]

여기서 $\alpha_{12}(\tau) = \arg[\gamma_{12}(\tau)]$ , $\delta$ 는 경로차에 의한 위상차이다.

간섭 무늬의 가시도(visibility, fringe visibility)는:

\mathcal{V} = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}

두 빔의 세기가 같으면 ( $I_1 = I_2$ ):

\mathcal{V} = |\gamma_{12}(\tau)|

참고결맞음과 양자 광학

결맞음 이론은 양자 광학으로 자연스럽게 확장된다. 글라우버(Glauber, 2005 노벨물리학상)는 양자 결맞음 이론을 발전시켜 $n$ 차 상관 함수 $g^{(n)}$ 을 정의하였다. 고전적 결맞음 이론의 $\gamma_{12}$ 는 $g^{(1)}$ 에 해당하며, 광자 묶음(photon bunching)과 같은 양자 효과는 $g^{(2)}$ 로 기술된다. 열빛(thermal light)에 대해 $g^{(2)}(0) = 2$ 이고, 결맞는 레이저 빛에 대해 $g^{(2)}(0) = 1$ 이며, 단일 광자 상태에서는 $g^{(2)}(0) = 0$ 으로 고전적으로 불가능한 반묶음(antibunching)이 나타난다.