영의 이중슬릿 (Young's Double Slit)

1. 서론

토머스 영(Thomas Young, 1801)의 이중슬릿 실험은 빛의 파동성을 결정적으로 입증한 역사적 실험이다. 두 개의 결맞는 광원으로부터의 파동이 중첩되어 간섭 무늬를 형성하는 이 현상은 파동 광학의 가장 기본적인 간섭 현상이다.

2. 기본 배치와 경로차

정의3.1이중슬릿 간섭의 기하학

간격 $d$ 로 떨어진 두 슬릿 $S_1$ , $S_2$ 로부터 거리 $L$ 의 스크린 위 점 $P$ 까지의 경로차는:

\Delta = r_2 - r_1 = d \sin\theta

원거리 근사(far-field approximation, $L \gg d$ )에서 스크린 위의 위치 $y$ 에 대해:

\Delta \approx \frac{d\, y}{L}

두 파동의 위상차는:

\delta = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda}

3. 간섭 무늬의 세기 분포

유도이중슬릿 간섭 세기

두 슬릿에서 방출된 파동을 각각:

E_1 = E_0\, e^{i(kr_1 - \omega t)}, \qquad E_2 = E_0\, e^{i(kr_2 - \omega t)}

라 하면, 스크린 위에서의 합성 파동은:

E = E_1 + E_2 = E_0\, e^{i(kr_1 - \omega t)} \left(1 + e^{i\delta}\right)

세기는:

I = |E|^2 = |E_0|^2 \left|1 + e^{i\delta}\right|^2 = 4I_0 \cos^2\!\left(\frac{\delta}{2}\right)

따라서:

\boxed{I(\theta) = 4I_0 \cos^2\!\left(\frac{\pi d \sin\theta}{\lambda}\right)}

여기서 $I_0 = |E_0|^2$ 는 단일 슬릿에 의한 세기이다.

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보강 간섭(constructive interference): $\delta = 2m\pi$ ( $m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ )

d \sin\theta_m = m\lambda \qquad \Longrightarrow \qquad y_m = \frac{m\lambda L}{d}

상쇄 간섭(destructive interference): $\delta = (2m+1)\pi$

d \sin\theta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \qquad \Longrightarrow \qquad y = \frac{(m + 1/2)\lambda L}{d}

간섭 무늬의 간격(fringe spacing)은:

\Delta y = \frac{\lambda L}{d}

4. 유한 슬릿 폭의 효과

실제 슬릿은 유한한 폭 $a$ 를 가진다. 이 경우 단일 슬릿의 회절 무늬가 간섭 무늬에 포락선(envelope)으로 겹쳐진다:

I(\theta) = 4I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 \cos^2\!\left(\frac{\delta}{2}\right)

여기서:

\beta = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}, \qquad \delta = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda}

$(\sin\beta/\beta)^2$ 는 단일 슬릿 회절 인자이고, $\cos^2(\delta/2)$ 는 이중슬릿 간섭 인자이다.

누락 차수(missing orders): 회절 극소와 간섭 극대가 겹치는 경우 해당 차수의 간섭 극대가 사라진다. 이 조건은 $d/a$ 가 정수일 때, 그 정수의 배수 차수에서 발생한다.

예제누락 차수의 결정

슬릿 폭 $a = 0.1\,\text{mm}$ , 슬릿 간격 $d = 0.5\,\text{mm}$ 일 때, $d/a = 5$ 이다. 따라서 $m = 5, 10, 15, \ldots$ 차수의 간섭 극대가 누락된다. 이는 5차 간섭 극대의 위치가 단일 슬릿 1차 회절 극소의 위치와 일치하기 때문이다:

d \sin\theta = 5\lambda \quad \text{(5차 간섭 극대)}

a \sin\theta = \lambda \quad \text{(1차 회절 극소)}

두 조건이 동시에 만족되므로 이 방향에서의 세기는 0이 된다.

5. 부분 결맞음의 효과

광원이 완전히 결맞지 않은 경우, 간섭 무늬의 가시도(visibility)가 감소한다.

시간적 결맞음의 효과: 유한한 스펙트럼 폭 $\Delta\lambda$ 는 높은 차수에서 무늬를 흐리게 한다. 관측 가능한 최대 차수는:

m_{\max} \approx \frac{\lambda}{\Delta\lambda}

공간적 결맞음의 효과: 확장 광원(extended source)의 각 크기 $\theta_s$ 에 대해, 반 시테르트-체르니케 정리에 의한 공간적 결맞음도에 따라 가시도가 결정된다. 간섭 무늬가 완전히 사라지는 조건은:

d \cdot \theta_s \approx \frac{\lambda}{2}

이로부터 별의 각지름 측정(stellar interferometry)이 가능하다. 마이켈슨 항성 간섭계(Michelson stellar interferometer)는 이 원리를 이용한다.

6. 다중슬릿 간섭

정의3.2N-슬릿 간섭

간격 $d$ 로 균등하게 배치된 $N$ 개의 슬릿에 의한 간섭 세기는:

I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin(N\delta/2)}{N \sin(\delta/2)}\right)^2 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2

여기서 $\delta = 2\pi d \sin\theta / \lambda$ 이다.

$N$ -슬릿 간섭의 특징:

주극대(principal maxima): $\delta/2 = m\pi$ , 즉 $d\sin\theta = m\lambda$ 에서 세기가 $N^2 I_0$
부극대(secondary maxima): 인접한 두 주극대 사이에 $N - 2$ 개 존재
극소(minima): 인접한 두 주극대 사이에 $N - 1$ 개 존재
주극대의 반치폭(FWHM)은 $N$ 에 반비례: $\Delta\theta \propto 1/(Nd)$

참고회절격자로의 확장

$N$ 이 매우 클 때 ( $N \sim 10^3 - 10^5$ ), 이 배열은 회절격자(diffraction grating)가 된다. 회절격자의 분해능(resolving power)은 레일리 기준에 의해:

\mathcal{R} = \frac{\lambda}{\Delta\lambda_{\min}} = mN

여기서 $m$ 은 회절 차수, $N$ 은 격자의 총 슬릿 수이다.