박막 간섭 (Thin Film Interference)
1. 서론
얇은 투명 막(thin film)에서의 간섭은 비누방울의 무지개빛, 기름막의 색깔, 반사방지 코팅 등 일상적으로 관찰되는 현상이다. 박막의 앞면과 뒷면에서 반사된 두 파동 사이의 간섭에 의해 특정 파장이 선택적으로 강화되거나 소멸된다.
2. 박막에서의 경로차
정의 3.3 박막 간섭의 광학적 경로차
굴절률 n f n_f n f d d d θ i \theta_i θ i
OPD = 2 n f d cos θ t \text{OPD} = 2 n_f d \cos\theta_t OPD = 2 n f d cos θ t 여기서 θ t \theta_t θ t n i sin θ i = n f sin θ t n_i \sin\theta_i = n_f \sin\theta_t n i sin θ i = n f sin θ t
유도 박막 경로차의 유도
박막 내부에서 빛은 앞면에서 뒷면으로, 그리고 다시 앞면으로 왕복한다. 이 왕복 경로의 기하학적 길이는:
ℓ = 2 d cos θ t \ell = \frac{2d}{\cos\theta_t} ℓ = cos θ t 2 d 광학적 경로 길이는 n f ⋅ ℓ = 2 n f d / cos θ t n_f \cdot \ell = 2n_f d / \cos\theta_t n f ⋅ ℓ = 2 n f d / cos θ t
그러나 앞면에서 직접 반사된 빔은 경계면을 따라 추가로 이동하므로, 이 보정을 포함하면:
OPD = 2 n f d cos θ t − 2 d tan θ t ⋅ n i sin θ i \text{OPD} = \frac{2 n_f d}{\cos\theta_t} - 2d \tan\theta_t \cdot n_i \sin\theta_i OPD = cos θ t 2 n f d − 2 d tan θ t ⋅ n i sin θ i 스넬 법칙 n i sin θ i = n f sin θ t n_i \sin\theta_i = n_f \sin\theta_t n i sin θ i = n f sin θ t
OPD = 2 n f d cos θ t − 2 d sin 2 θ t cos θ t n f = 2 n f d cos θ t \text{OPD} = \frac{2 n_f d}{\cos\theta_t} - 2d \frac{\sin^2\theta_t}{\cos\theta_t} n_f = 2 n_f d \cos\theta_t OPD = cos θ t 2 n f d − 2 d cos θ t sin 2 θ t n f = 2 n f d cos θ t ■
3. 위상 변화와 간섭 조건
반사 시 발생하는 위상 변화를 반드시 고려해야 한다:
빛이 저굴절률 매질에서 고굴절률 매질의 경계면에서 반사될 때: π \pi π
빛이 고굴절률 매질에서 저굴절률 매질의 경계면에서 반사될 때: 위상 변화 없음
따라서 총 위상차는:
δ = 2 π λ ⋅ 2 n f d cos θ t + Δ ϕ reflection \delta = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot 2 n_f d \cos\theta_t + \Delta\phi_{\text{reflection}} δ = λ 2 π ⋅ 2 n f d cos θ t + Δ ϕ reflection 여기서 Δ ϕ reflection \Delta\phi_{\text{reflection}} Δ ϕ reflection
경우 1: n i < n f < n s n_i < n_f < n_s n i < n f < n s n i > n f > n s n_i > n_f > n_s n i > n f > n s π \pi π
보강 간섭: 2 n f d cos θ t = ( m + 1 2 ) λ , m = 0 , 1 , 2 , … \text{보강 간섭:} \quad 2n_f d \cos\theta_t = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda, \quad m = 0, 1, 2, \ldots 보강 간섭 : 2 n f d cos θ t = ( m + 2 1 ) λ , m = 0 , 1 , 2 , … 상쇄 간섭: 2 n f d cos θ t = m λ \text{상쇄 간섭:} \quad 2n_f d \cos\theta_t = m\lambda 상쇄 간섭 : 2 n f d cos θ t = mλ 경우 2: n i < n f > n s n_i < n_f > n_s n i < n f > n s n i > n f < n s n_i > n_f < n_s n i > n f < n s
보강 간섭: 2 n f d cos θ t = m λ \text{보강 간섭:} \quad 2n_f d \cos\theta_t = m\lambda 보강 간섭 : 2 n f d cos θ t = mλ 상쇄 간섭: 2 n f d cos θ t = ( m + 1 2 ) λ \text{상쇄 간섭:} \quad 2n_f d \cos\theta_t = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda 상쇄 간섭 : 2 n f d cos θ t = ( m + 2 1 ) λ 4. 반사방지 코팅
5. 다층 박막
다층 박막(multilayer thin film)의 분석에는 전달 행렬 방법 (transfer matrix method)이 체계적이다.
정의 3.4 특성 행렬
굴절률 n j n_j n j d j d_j d j 특성 행렬 (characteristic matrix)은:
M j = ( cos δ j − i η j sin δ j − i η j sin δ j cos δ j ) \mathbf{M}_j = \begin{pmatrix} \cos\delta_j & -\dfrac{i}{\eta_j}\sin\delta_j \\ -i\eta_j \sin\delta_j & \cos\delta_j \end{pmatrix} M j = cos δ j − i η j sin δ j − η j i sin δ j cos δ j 여기서 δ j = 2 π n j d j cos θ j / λ \delta_j = 2\pi n_j d_j \cos\theta_j / \lambda δ j = 2 π n j d j cos θ j / λ η j \eta_j η j
η j = { n j cos θ j (s-편광) n j / cos θ j (p-편광) \eta_j = \begin{cases} n_j \cos\theta_j & \text{(s-편광)} \\ n_j / \cos\theta_j & \text{(p-편광)} \end{cases} η j = { n j cos θ j n j / cos θ j (s- 편광 ) (p- 편광 ) N N N
M = ∏ j = 1 N M j = ( M 11 M 12 M 21 M 22 ) \mathbf{M} = \prod_{j=1}^{N} \mathbf{M}_j = \begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{pmatrix} M = j = 1 ∏ N M j = ( M 11 M 21 M 12 M 22 ) 반사 계수는:
r = η i M 11 + η i η s M 12 − M 21 − η s M 22 η i M 11 + η i η s M 12 + M 21 + η s M 22 r = \frac{\eta_i M_{11} + \eta_i \eta_s M_{12} - M_{21} - \eta_s M_{22}}{\eta_i M_{11} + \eta_i \eta_s M_{12} + M_{21} + \eta_s M_{22}} r = η i M 11 + η i η s M 12 + M 21 + η s M 22 η i M 11 + η i η s M 12 − M 21 − η s M 22 6. 파브리-페로 간섭계
정의 3.5 파브리-페로 간섭계
두 개의 높은 반사율 평행 평면으로 구성된 파브리-페로 간섭계 (Fabry-Perot interferometer)의 투과 세기는 에어리 함수 (Airy function)로 주어진다:
I t = I 0 1 + F sin 2 ( δ / 2 ) I_t = \frac{I_0}{1 + F \sin^2(\delta/2)} I t = 1 + F sin 2 ( δ /2 ) I 0 여기서 δ = 4 π n d cos θ / λ \delta = 4\pi n d \cos\theta / \lambda δ = 4 πn d cos θ / λ 피네스 계수 (finesse coefficient)는:
F = 4 R ( 1 − R ) 2 F = \frac{4R}{(1 - R)^2} F = ( 1 − R ) 2 4 R R R R
피네스(finesse) F \mathcal{F} F
F = π F 2 = π R 1 − R \mathcal{F} = \frac{\pi \sqrt{F}}{2} = \frac{\pi \sqrt{R}}{1 - R} F = 2 π F = 1 − R π R 자유 스펙트럼 범위(free spectral range, FSR)는:
Δ ν FSR = c 2 n d cos θ \Delta\nu_{\text{FSR}} = \frac{c}{2nd\cos\theta} Δ ν FSR = 2 n d cos θ c 분해능은:
R = λ Δ λ min = m ⋅ F \mathcal{R} = \frac{\lambda}{\Delta\lambda_{\min}} = m \cdot \mathcal{F} R = Δ λ m i n λ = m ⋅ F 참고 파브리-페로 공진기의 현대적 응용
파브리-페로 구조는 레이저 공진기의 기본 형태이며, 통신용 파장 필터, 중력파 검출기(LIGO)의 간섭계 증강, 광학 주파수 빗(optical frequency comb) 등 현대 광학의 핵심 구성 요소이다. 반도체 수직 공진기 면발광 레이저(VCSEL)도 본질적으로 마이크로 파브리-페로 공진기이다.