프라운호퍼 회절 (Fraunhofer Diffraction)

1. 서론

프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)은 광원과 관측점이 모두 개구(aperture)로부터 충분히 멀리 있어 입사파와 회절파가 평면파로 근사될 수 있는 경우의 회절 현상이다. 이는 프레넬 회절에 비해 수학적으로 훨씬 간결하며, 회절 무늬가 개구 함수의 푸리에 변환으로 표현된다는 핵심적 결과를 가진다.

프라운호퍼 조건은 다음으로 주어진다:

z \gg \frac{a^2}{\lambda} \qquad \text{즉,} \quad N_F = \frac{a^2}{\lambda z} \ll 1

여기서 $a$ 는 개구의 특성 크기, $z$ 는 개구에서 관측면까지의 거리, $N_F$ 는 프레넬 수이다.

2. 프라운호퍼 회절 적분

정의4.1프라운호퍼 회절 적분

개구 함수(aperture function) $t(\xi, \eta)$ 에 의한 프라운호퍼 회절 진폭은:

U(x, y) = C \iint_{-\infty}^{\infty} t(\xi, \eta)\, \exp\!\left[-i\frac{2\pi}{\lambda z}(x\xi + y\eta)\right] d\xi\, d\eta

여기서 $(\xi, \eta)$ 는 개구면의 좌표, $(x, y)$ 는 관측면의 좌표, $C$ 는 상수이다.

공간 주파수 $f_x = x/(\lambda z)$ , $f_y = y/(\lambda z)$ 를 도입하면:

U(f_x, f_y) = C\, \mathcal{F}\{t(\xi, \eta)\}

즉, 프라운호퍼 회절 무늬는 개구 함수의 2차원 푸리에 변환이다.

3. 단일 슬릿 회절

유도단일 슬릿의 프라운호퍼 회절

폭 $a$ 인 1차원 슬릿의 개구 함수는:

t(\xi) = \text{rect}\!\left(\frac{\xi}{a}\right) = \begin{cases} 1 & |\xi| \leq a/2 \\ 0 & |\xi| > a/2 \end{cases}

푸리에 변환을 계산하면:

U(\theta) = C \int_{-a/2}^{a/2} e^{-ik\xi\sin\theta}\, d\xi = Ca \cdot \frac{\sin\beta}{\beta}

여기서 $\beta = \pi a \sin\theta / \lambda$ 이다. 세기 분포는:

\boxed{I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 = I_0\, \text{sinc}^2\!\left(\frac{a\sin\theta}{\lambda}\right)}

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단일 슬릿 회절 패턴의 특징:

중앙 극대: $\theta = 0$ 에서 $I = I_0$ , 반치폭 $\Delta\theta \approx 0.89\lambda/a$
극소: $\sin\theta = m\lambda/a$ ( $m = \pm 1, \pm 2, \ldots$ )
부극대: 인접 극소들 사이에 위치, $m$ 차 부극대의 세기는 $I_0/[(m + 1/2)\pi]^2$ 에 근사

4. 원형 개구 회절

유도원형 개구의 프라운호퍼 회절

반지름 $a$ 인 원형 개구에 대해, 원통 좌표계를 도입하면:

U(q) = C \int_0^a \int_0^{2\pi} e^{-ik\rho q \cos\phi}\, \rho\, d\phi\, d\rho

여기서 $q = \sin\theta$ 이다. $\phi$ 적분은 제0종 베셀 함수 $J_0$ 를 준다:

U(q) = 2\pi C \int_0^a J_0(k\rho q)\, \rho\, d\rho

항등식 $\int_0^x J_0(t)\, t\, dt = x J_1(x)$ 를 이용하면:

U(q) = C \pi a^2 \cdot \frac{2 J_1(v)}{v}

여기서 $v = ka\sin\theta = 2\pi a \sin\theta / \lambda$ 이다. 세기 분포는:

\boxed{I(\theta) = I_0 \left(\frac{2 J_1(v)}{v}\right)^2}

이것이 에어리 패턴(Airy pattern)이다.

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에어리 패턴의 특성:

첫째 극소(에어리 원반의 경계): $v = 3.832$ , 즉 $\sin\theta_1 = 1.22\lambda/(2a) = 1.22\lambda/D$
중앙 원반(에어리 디스크)에 전체 에너지의 약 **83.8%**가 집중
첫째 밝은 고리: 전체 에너지의 약 7.2%

예제망원경의 에어리 디스크

구경 $D = 10\,\text{cm}$ 인 망원경으로 파장 $\lambda = 550\,\text{nm}$ 의 빛을 관측할 때, 에어리 디스크의 각반지름은:

\theta_1 = 1.22 \frac{\lambda}{D} = 1.22 \times \frac{550 \times 10^{-9}}{0.10} = 6.71 \times 10^{-6}\,\text{rad} = 1.38''

초점 거리 $f = 1\,\text{m}$ 인 경우, 에어리 디스크의 반지름은:

r_1 = f \cdot \theta_1 = 6.71\,\mu\text{m}

5. 회절격자

정의4.2회절격자의 세기 분포

격자 상수 $d$ , 슬릿 폭 $a$ , 총 $N$ 개의 슬릿으로 구성된 회절격자의 프라운호퍼 회절 세기는:

I(\theta) = I_0 \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 \left(\frac{\sin(N\alpha)}{N\sin\alpha}\right)^2

여기서 $\beta = \pi a \sin\theta/\lambda$ , $\alpha = \pi d \sin\theta/\lambda$ 이다.

회절격자의 각 분산(angular dispersion)은:

\frac{d\theta}{d\lambda} = \frac{m}{d \cos\theta}

분해능(resolving power)은:

\mathcal{R} = \frac{\lambda}{\delta\lambda} = mN

참고블레이즈 격자

블레이즈 격자(blazed grating)는 격자 홈의 각도를 조절하여 특정 차수에 에너지를 집중시킨다. 블레이즈 각 $\theta_b$ 에서 단일 홈의 회절 극대와 $m$ 차 간섭 극대가 일치하도록 설계한다:

d(\sin\theta_i + \sin\theta_b) = m\lambda

이를 통해 특정 파장 영역에서의 회절 효율을 80% 이상으로 높일 수 있다.

6. 바비네 원리

법칙4.1바비네 원리

상보적인(complementary) 두 개구 $\Sigma_1$ 과 $\Sigma_2$ 에 의한 회절 진폭 $U_1$ 과 $U_2$ 는 다음을 만족한다:

U_1 + U_2 = U_0

여기서 $U_0$ 는 장애물이 없을 때의 비회절 파동(직진 방향 제외 시 $U_0 = 0$ )이다. 따라서 직진 방향을 제외한 모든 방향에서:

U_1 = -U_2 \qquad \Longrightarrow \qquad I_1 = I_2

바비네 원리에 의해, 원형 개구의 회절 패턴과 같은 크기의 원형 차폐물의 회절 패턴은 (직진 방향을 제외하면) 동일한 세기 분포를 가진다. 이는 회절 실험의 설계와 해석에 유용한 도구이다.