프레넬 회절 (Fresnel Diffraction)

1. 서론

프레넬 회절(Fresnel diffraction)은 광원 또는 관측점(또는 둘 다)이 개구에 유한한 거리에 있어 파면의 곡률을 무시할 수 없는 경우의 회절 현상이다. 프레넬 수(Fresnel number) $N_F = a^2/(\lambda z) \gtrsim 1$ 일 때 적용되며, 프라운호퍼 회절보다 일반적인 이론이다.

2. 프레넬 회절 적분

정의4.3프레넬 회절 적분

개구면의 점 $(\xi, \eta)$ 에서 관측점 $(x, y)$ 까지의 거리를 이차 근사하면:

r \approx z + \frac{(x - \xi)^2 + (y - \eta)^2}{2z}

이를 키르히호프 적분에 대입하면 프레넬 회절 적분이 얻어진다:

U(x, y) = \frac{e^{ikz}}{i\lambda z} \iint t(\xi, \eta)\, \exp\!\left[\frac{i\pi}{\lambda z}\left((x - \xi)^2 + (y - \eta)^2\right)\right] d\xi\, d\eta

이는 개구 함수 $t(\xi, \eta)$ 와 프레넬 전파자(Fresnel propagator) $h(\xi, \eta) = \frac{1}{i\lambda z} \exp\!\left[\frac{i\pi}{\lambda z}(\xi^2 + \eta^2)\right]$ 의 합성곱(convolution)이다:

U(x, y) = e^{ikz}\, [t * h](x, y)

프라운호퍼 회절과의 차이는 지수 속의 이차항 $\exp[i\pi(\xi^2 + \eta^2)/(\lambda z)]$ 의 존재 여부이다. $z \to \infty$ 이면 이 이차항이 무시되어 프라운호퍼 근사로 환원된다.

3. 프레넬 대역

정의4.4프레넬 대역

점 광원 $S$ 에서 관측점 $P$ 를 향하는 파면 위에서, 인접 대역(zone)들 사이의 경로차가 $\lambda/2$ 가 되도록 동심원 대역을 정의한다. $m$ 번째 프레넬 대역의 외측 반지름은:

\rho_m = \sqrt{m\lambda \cdot \frac{z_1 z_2}{z_1 + z_2}}

여기서 $z_1$ 은 광원에서 파면까지, $z_2$ 는 파면에서 관측점까지의 거리이다.

프레넬 대역의 핵심 성질:

모든 대역의 면적은 대략 같다: $A_m \approx \pi\lambda z_1 z_2/(z_1 + z_2)$
인접 대역들의 기여는 반대 부호를 가진다
전체 합은 첫째 대역 기여의 약 절반: $U \approx \frac{1}{2} U_1$

유도프레넬 대역에 의한 파동 진폭 합산

$m$ 번째 대역의 기여를 $U_m$ 이라 하면, 연속하는 대역의 기여는 교대로 부호가 바뀌고 크기가 서서히 감소한다:

U = U_1 - U_2 + U_3 - U_4 + \cdots

$|U_m| \approx |U_{m+1}|$ 이므로 인접 항들을 쌍으로 묶으면:

U = \frac{U_1}{2} + \left(\frac{U_1}{2} - U_2 + \frac{U_3}{2}\right) + \left(\frac{U_3}{2} - U_4 + \frac{U_5}{2}\right) + \cdots

각 괄호 안의 값은 거의 0이므로:

U \approx \frac{U_1}{2}

이는 장애물이 없을 때의 자유 전파 결과와 일치한다.

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4. 프레넬 존 플레이트

정의4.5프레넬 존 플레이트

홀수 대역만 투과(또는 짝수 대역만 투과)시키는 원형 격자를 프레넬 존 플레이트(Fresnel zone plate)라 한다. 이는 회절에 의해 빛을 집속하는 광학 소자로 기능한다.

$m$ 번째 대역의 반지름이:

\rho_m = \sqrt{m\lambda f}

일 때 ( $f$ 는 1차 초점 거리), 존 플레이트의 주 초점 거리는:

f_1 = \frac{\rho_1^2}{\lambda}

고차 초점들도 존재한다:

f_p = \frac{f_1}{p}, \qquad p = 1, 3, 5, \ldots

참고X선 광학에서의 존 플레이트

X선 영역( $\lambda \sim 0.1 - 10\,\text{nm}$ )에서는 굴절률이 1에 매우 가까워 일반 렌즈가 작동하지 않는다. 프레넬 존 플레이트는 X선 현미경, 싱크로트론 빔라인 집속 등에서 핵심 광학 소자로 활용된다. 최외각 대역 폭 $\Delta\rho_N$ 이 공간 분해능을 결정하며, 현재 기술로 약 $10\,\text{nm}$ 수준의 해상도가 달성 가능하다.

5. 직선 모서리 회절

유도직선 모서리의 프레넬 회절

반무한 차폐물(half-plane, $\xi \geq 0$ 에서 차폐)에 의한 프레넬 회절을 고려하자. 1차원 프레넬 적분은:

U(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{e^{i\pi/4}}{i} \int_{-\infty}^{u_0} e^{i\pi t^2/2}\, dt

여기서 $u_0 = x\sqrt{2/(\lambda z)}$ 이다.

프레넬 적분(Fresnel integrals)을 정의하면:

C(u) = \int_0^u \cos\!\left(\frac{\pi t^2}{2}\right) dt, \qquad S(u) = \int_0^u \sin\!\left(\frac{\pi t^2}{2}\right) dt

세기 분포는:

I(u_0) = \frac{I_0}{2}\left[\left(\frac{1}{2} + C(u_0)\right)^2 + \left(\frac{1}{2} + S(u_0)\right)^2\right]

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직선 모서리 회절 패턴의 특징:

기하학적 그림자 경계( $u_0 = 0$ )에서 세기는 $I_0/4$ (자유 공간의 1/4)
조명 영역( $u_0 > 0$ ): 세기가 $I_0$ 주위에서 진동하며 점근적으로 $I_0$ 에 수렴
그림자 영역( $u_0 < 0$ ): 세기가 단조 감소하여 0으로 수렴

6. 코르뉘 나선

정의4.6코르뉘 나선

코르뉘 나선(Cornu spiral)은 복소 평면에서 $(C(u), S(u))$ 를 $u$ 의 매개변수로 그린 곡선이다. 두 극한점은:

u \to +\infty: \quad \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \qquad u \to -\infty: \quad \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)

프레넬 회절 진폭은 코르뉘 나선 위의 두 점을 잇는 벡터(페이저)의 길이로 기하학적으로 결정된다. 이는 프레넬 회절 문제를 직관적으로 분석할 수 있게 해준다.

예제단일 슬릿의 프레넬 회절

폭 $a$ 인 슬릿의 프레넬 회절을 코르뉘 나선으로 분석하자. 프레넬 수 $N_F = a^2/(\lambda z)$ 에 따라:

$N_F \gg 1$ (슬릿이 많은 프레넬 대역을 포함): 나선의 거의 전체를 사용하며, 기하광학적 결과에 접근
$N_F \approx 1$ : 나선의 약 한 바퀴를 사용하며, 복잡한 회절 패턴
$N_F \ll 1$ : 나선의 아주 작은 부분만 사용하며, 프라운호퍼 한계로 전이

$N_F = 2$ 인 경우, 스크린 중심에서의 세기는 자유 전파의 경우보다 약간 크며, 이는 짝수 개의 프레넬 대역이 열려 있어 보강 간섭이 일어나기 때문이다.