⚛

물리학 강의 노트

개념완성

존스 행렬 (Jones Matrices)

1. 서론

존스 계산법(Jones calculus, R. Clark Jones, 1941)은 완전 편광된 빛의 편광 상태와 그 변환을 2×22 \times 2 복소 행렬로 기술하는 형식 체계이다. 이 방법은 결맞는(coherent) 완전 편광에 대해 적용되며, 진폭과 위상 정보를 모두 보존한다.

2. 존스 벡터

정의5.6존스 벡터

zz 방향으로 전파하는 단색 평면파의 편광 상태를 나타내는 존스 벡터(Jones vector)는:

J=(E0x eiδxE0y eiδy)=(AxAy)\mathbf{J} = \begin{pmatrix} E_{0x}\, e^{i\delta_x} \\ E_{0y}\, e^{i\delta_y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \end{pmatrix}

여기서 AxA_x, AyA_y는 xx, yy 성분의 복소 진폭이다. 세기는 I=J†J=∣Ax∣2+∣Ay∣2I = \mathbf{J}^\dagger \mathbf{J} = |A_x|^2 + |A_y|^2이다.

정규화된 존스 벡터들의 예:

| 편광 상태 | 존스 벡터 | |-----------|-----------| | 수평 선편광 | (10)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} | | 수직 선편광 | (01)\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} | | +45∘+45^\circ 선편광 | 12(11)\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} | | −45∘-45^\circ 선편광 | 12(1−1)\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} | | 우원편광 (RCP) | 12(1−i)\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} | | 좌원편광 (LCP) | 12(1i)\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} |

3. 존스 행렬

정의5.7존스 행렬

광학 소자에 의한 편광 상태의 변환은 2×22 \times 2 복소 행렬인 존스 행렬(Jones matrix) T\mathbf{T}로 표현된다:

Jout=T Jin\mathbf{J}_{\text{out}} = \mathbf{T}\, \mathbf{J}_{\text{in}}

NN개의 광학 소자를 순서대로 통과하면:

Jout=TN⋯T2⋅T1 Jin\mathbf{J}_{\text{out}} = \mathbf{T}_N \cdots \mathbf{T}_2 \cdot \mathbf{T}_1\, \mathbf{J}_{\text{in}}

주요 광학 소자의 존스 행렬:

선형 편광자 (투과축이 xx축과 각도 θ\theta):

Tpol(θ)=(cos⁡2θsin⁡θcos⁡θsin⁡θcos⁡θsin⁡2θ)\mathbf{T}_{\text{pol}}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{pmatrix}

반파장판 (λ/2\lambda/2 plate, 빠른 축이 xx축):

Tλ/2=(100−1)\mathbf{T}_{\lambda/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

사분파장판 (λ/4\lambda/4 plate, 빠른 축이 xx축):

Tλ/4=(100−i)\mathbf{T}_{\lambda/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}

일반 지연판 (위상 지연 Γ\Gamma, 빠른 축이 xx축):

Tret(Γ)=(100e−iΓ)\mathbf{T}_{\text{ret}}(\Gamma) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{-i\Gamma} \end{pmatrix}

회전자 (광학적 활성에 의한 편광면 회전 α\alpha):

Trot(α)=(cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α)\mathbf{T}_{\text{rot}}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}

4. 좌표 회전

유도회전된 광학 소자의 존스 행렬

광학적 축이 xx축으로부터 각도 θ\theta만큼 회전된 소자의 존스 행렬은:

T(θ)=R(−θ) T(0) R(θ)\mathbf{T}(\theta) = \mathbf{R}(-\theta)\, \mathbf{T}(0)\, \mathbf{R}(\theta)

여기서 회전 행렬은:

R(θ)=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)\mathbf{R}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

예를 들어, 빠른 축이 θ\theta만큼 회전된 사분파장판:

Tλ/4(θ)=R(−θ)(100−i)R(θ)\mathbf{T}_{\lambda/4}(\theta) = \mathbf{R}(-\theta) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \mathbf{R}(\theta)=(cos⁡2θ−isin⁡2θ(1+i)sin⁡θcos⁡θ(1+i)sin⁡θcos⁡θsin⁡2θ−icos⁡2θ)= \begin{pmatrix} \cos^2\theta - i\sin^2\theta & (1 + i)\sin\theta\cos\theta \\ (1 + i)\sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta - i\cos^2\theta \end{pmatrix}
■

5. 존스 행렬의 성질과 고유 편광

정의5.8고유 편광

광학 소자의 고유 편광(eigenpolarization)은 소자를 통과해도 편광 상태가 변하지 않는 존스 벡터이다. 즉, 존스 행렬의 고유 벡터:

T Jeigen=λ Jeigen\mathbf{T}\, \mathbf{J}_{\text{eigen}} = \lambda\, \mathbf{J}_{\text{eigen}}

여기서 λ\lambda는 (일반적으로 복소) 고유값이다.

존스 행렬의 중요한 성질:

  • 무손실 소자: T\mathbf{T}가 유니터리(T†T=I\mathbf{T}^\dagger \mathbf{T} = \mathbf{I}) -- 세기를 보존
  • 지연판: 유니터리이며 det⁡(T)=e−iΓ\det(\mathbf{T}) = e^{-i\Gamma} (전체 위상을 무시하면 SU(2)\text{SU}(2))
  • 편광자: 에르미트(T†=T\mathbf{T}^\dagger = \mathbf{T})이며 멱등(T2=T\mathbf{T}^2 = \mathbf{T})
  • 감쇠기 (흡수 이색성): 비유니터리 대각 행렬
예제원편광 생성

수평 선편광된 빛을 빠른 축이 45∘45^\circ인 사분파장판에 통과시키면:

Jout=Tλ/4(45∘)(10)\mathbf{J}_{\text{out}} = \mathbf{T}_{\lambda/4}(45^\circ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}Tλ/4(45∘)=12(1−i1+i1+i1−i)⋅12=12(1−i)⋅1−i2\mathbf{T}_{\lambda/4}(45^\circ) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 - i & 1 + i \\ 1 + i & 1 - i \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \cdot \frac{1-i}{\sqrt{2}}

전체 위상 인자를 무시하면:

Jout∝12(1−i)\mathbf{J}_{\text{out}} \propto \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}

이는 우원편광(RCP)이다. 빠른 축을 −45∘-45^\circ로 바꾸면 좌원편광(LCP)이 얻어진다.

6. 뮐러 행렬과의 관계

존스 계산법은 완전 편광에만 적용 가능하다. 부분 편광을 포함한 일반적인 경우에는 뮐러 계산법(Mueller calculus)을 사용한다.

스토크스 벡터 S=(S0,S1,S2,S3)T\mathbf{S} = (S_0, S_1, S_2, S_3)^T에 대해 광학 소자의 변환은 4×44 \times 4 실수 뮐러 행렬(Mueller matrix) M\mathbf{M}으로 표현된다:

Sout=M Sin\mathbf{S}_{\text{out}} = \mathbf{M}\, \mathbf{S}_{\text{in}}

존스 행렬 T\mathbf{T}와 뮐러 행렬 M\mathbf{M} 사이의 관계는 다음과 같다:

Mij=12tr(σi T σj T†)M_{ij} = \frac{1}{2} \text{tr}(\sigma_i\, \mathbf{T}\, \sigma_j\, \mathbf{T}^\dagger)

여기서 σ0=I\sigma_0 = \mathbf{I}, σ1,σ2,σ3\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3은 파울리 행렬이다.

참고편광 광학과 양자역학의 수학적 구조

존스 벡터는 양자역학의 스핀-1/2 상태 벡터와 동일한 수학적 구조(C2\mathbb{C}^2)를 가진다. 푸앵카레 구는 블로흐 구(Bloch sphere)와 동형이며, SU(2)\text{SU}(2) 군이 두 이론 모두에서 변환군의 역할을 한다. 이러한 수학적 유비는 양자 정보 이론에서 편광 상태가 큐비트(qubit)의 물리적 구현으로 사용되는 근거가 된다.